Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen

15.10.2016, 10:54

Klotzi111

Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen

Meine Frage:
Ich habe diese Frage im matheboard schon mal gefunden (http://www.matheboard.de/archive/524462/thread.html), nur bin ich Schüler einer niedrigeren Klasse und verstehe diese Mathematischen schreibweißen nicht.
Könnte mir jemand helfen und bei folgender aufgabe helfen, aber die mathematische Form gering halten.
Ich brauche eine allgemeine rechnung, denn die Punkte können andere Werte annehmen.

Beispiel:
Gegeben:
der Kreis-Mittelpunkt:
M(1|1|1)
der Radius:
r = 2
zwei Winkel die den gesuchten Kreis auf der X- und y-Achse drehen:
winkelX = 30°
winkelY = 35°
der Winkel am (Schräg im 3D-Raum liegender)Kreis (welcher sich ändert um die Punkte auf diesem Kreis auszurechnen):
winkelKreis = 10°

Ich habe ein Bild angehangen um zu verdeutlichen, was was ist.

Meine Ideen:
Ich könnte einen der Punkte A oder B ausrechnen(kann ich) und diesen dann um die Kreis-Achse rotieren, nur weiß ich nicht wie ich diesen rotiere.

15.10.2016, 17:37

Bürgi

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen
Guten Abend,

in diesem Beitag

http://khs.mlits.df-kunde.de/docs/pdf/CT..._Raum_Obach.pdf

wird ein Beispiel in verständlicher Form komplett durchgerechnet.

Allerdings wird die Orientierung der Ebene, auf der der Kreis liegt, nicht in Winkelgrößen angegeben sondern durch den Normalenvektor.

15.10.2016, 22:32

Klotzi111

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen
Ich habe mir das durchgelsen, nur verstehe ich nicht wie man rechnerisch von:
\vec{e}_1 \cdot \vec{n} = 0
auf
\vec{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}
kommt.
Könntest du mir das erklären?

Außerdem muss ich noch wissen, wie ich aus 3 Punkten die Ebenengleichung bekommen (wie: Ebene E: 4x+2y+z=2).

15.10.2016, 22:36

Klotzi111

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen
Hups hab einen kleinen fehler gemacht bei dem Latex layout, hier nochmal richtig:

Ich habe mir das durchgelsen, nur verstehe ich nicht wie man rechnerisch von:
$\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 \cdot \vec{n} = 0 \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kommt.
Könntest du mir das erklären?

Außerdem muss ich noch wissen, wie ich aus 3 Punkten die Ebenengleichung bekommen (wie: Ebene E: 4x+2y+z=2).

16.10.2016, 03:00

Klotzi111

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen
Ich weiß immer noch nicht wieso man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ for den Vektor schreibt, aber anscheined ist das einfach so. Falls du es weißt, kannst du es mir gerne schreiben.

... Aber ich denke, ich habe herausgefunden wie das mit der Ebene aus 3 Punkten geht und damit den Normalenvektor, den ich brauche:
Normalenvektor: $\begin{eqnarray*} \vec{n} = -(\vec{AB} \otimes \vec{AC}) \end{eqnarray*}$
Und dann kann ich so weiter machen, wie es in dem PDF steht.
Stimmt das?

16.10.2016, 09:30

Bürgi

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen
Guten Morgen,

ich weiß das auch nicht, denn es ist einfach falsch:

$\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ ist ein Einheitsvektor, d.h., seine Länge hat den Betrag 1.
Da in Deinem Beispiel
$\begin{eqnarray*} \left|\begin{pmatrix}1\\ -2 \\0 \end{pmatrix} \right| = 3 \end{eqnarray*}$

muss gelten: $\begin{eqnarray*} e_1=\frac13 \cdot \begin{pmatrix}1\\ -2 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tipp für später: Nicht alles für wahr halten, was in Büchern steht. Big Laugh

16.10.2016, 10:11

riwe

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen

Zitat:

Original von Bürgi
Guten Morgen,

ich weiß das auch nicht, denn es ist einfach falsch:

$\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ ist ein Einheitsvektor, d.h., seine Länge hat den Betrag 1.
Da in Deinem Beispiel
$\begin{eqnarray*} \left|\begin{pmatrix}1\\ -2 \\0 \end{pmatrix} \right| = 3 \end{eqnarray*}$

muss gelten: $\begin{eqnarray*} e_1=\frac13 \cdot \begin{pmatrix}1\\ -2 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tipp für später: Nicht alles für wahr halten, was in Büchern steht. Big Laugh

with the new math 1+ 4 = 3 Augenzwinkern

@Klotzi:
ich kann mir zwar vorstellen, was
winkelX = 30° und winkelY = 35° sein sollen, woraus man einen Normalenvektor der gesuchten Ebene basteln könnte, wenn´s denn so ist, wie ich vermute.
was aber soll denn winkelKreis = 10° sein verwirrt

16.10.2016, 10:21

Bürgi

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen
@riwe: Danke für Deine Antwort. Ich hätte wohl doch besser ein bisschen mehr Kaffee trinken sollen Hammer

@Klotzi111: ... und glaub nicht alles, was ich schreibe geschockt

Also noch einmal
..................................................................................................
Guten Morgen,

ich weiß das auch nicht, denn es ist einfach falsch:

$\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ ist ein Einheitsvektor, d.h., seine Länge hat den Betrag 1.
Da in Deinem Beispiel
$\begin{eqnarray*} \left|\begin{pmatrix}1\\ -2 \\0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

muss gelten: $\begin{eqnarray*} e_1=\frac1{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}1\\ -2 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.10.2016, 14:12

Klotzi111

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen
Mit winkelKreis meine ich den Winkel, der einen Punkt auf meinem Kreis (welcher auf meiner Ebene liegt (welche einen Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} \vec{n} = -(\vec{AB} \times \vec{AC}) \end{eqnarray*}$ hat)) errechnen lässt.

16.10.2016, 14:36

riwe

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen

Zitat:

Original von Klotzi111
Mit winkelKreis meine ich den Winkel, der einen Punkt auf meinem Kreis (welcher auf meiner Ebene liegt (welche einen Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} \vec{n} = -(\vec{AB} \times \vec{AC}) \end{eqnarray*}$ hat)) errechnen lässt.

und könntest du auch in so klaren Worten winkelX ... erläutern Augenzwinkern

16.10.2016, 16:32

Klotzi111

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen
Bei dem Bild, welches in angehangen habe, siehst du was winkelX und winkelY sein sollen.
Und in worten:
winkelX in der winkel, welchen man den Punkt (radius|0|0) auf der Y-Achse negativ dreht.
winkelY in der winkel, welchen man den Punkt (0|radius|0) auf der X-Achse negativ dreht.

Ich hoffe es ist verständlich

16.10.2016, 16:37

Klotzi111

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RE: Punkte auf Kreis im 3D-Raum berechnen
Bei dem winkelY hab ich einen Fehler gemacht, hier nochmal richtig:
Und in worten:
winkelX in der winkel, welchen man den Punkt (radius|0|0) auf der Y-Achse negativ dreht.
winkelY in der winkel, welchen man den Punkt (0|radius|0) auf der X-Achse positiv dreht.

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