Mengenaussagen richtig beweisen

16.10.2016, 13:07	qpid	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenaussagen richtig beweisen Hallo! Meine Aufgabe ist es die Mengenaussagen zu beweisen: "Falls M $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ N gilt, so sind auch M $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ N $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P und M $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ N $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ P erfüllt." Nun bin ich mir nicht sicher, ob ich mit dem Nachfolgenden formal und fachlich alles richtig mache auch wenn der Beweis an sich sicher trivial ist. Vielleicht könnt ihr ja mal drüberschauen und mir ein Feedback geben Danke schonmal! Für Teil 1: Für den Fall M $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varnothing \end{eqnarray}$ : M $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varnothing \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ m $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M : m $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ N : n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M : n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ M $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ N $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P Falls M $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P = $\begin{eqnarray} \varnothing \end{eqnarray}$ : M $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P = $\begin{eqnarray} \varnothing \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} \varnothing \end{eqnarray}$ } $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ N $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ M $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ N $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ P Für Teil 2: Sei m $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M ; n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ N ; p $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ P. M $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ N $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ m : m $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ N M $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ P = {m;p} N $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ P = {n;p} $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ M $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ P $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ N $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ P
16.10.2016, 14:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
trivialer Beweis: $\begin{eqnarray} (M\subseteq N\Rightarrow (x\in M\Rightarrow x\in N))\Rightarrow (x\in M\cap P\Rightarrow x\in M\wedge x\in P\Rightarrow x\in N\wedge x\in P\Rightarrow x\in N\cap P) \end{eqnarray}$ Fallunterscheidung ist nicht nötig. genau so mit "oder" statt "und" .
16.10.2016, 16:07	qpid	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ist auf jeden Fall weniger umständlich, da muss ich noch dran arbeiten.
16.10.2016, 17:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist immer so einfach, weil $\begin{eqnarray} A\subseteq B \end{eqnarray}$ per Definition gleichbedeutend ist mit $\begin{eqnarray} x\in A\Rightarrow x\in B \end{eqnarray}$ . Um $\begin{eqnarray} A\subseteq B \end{eqnarray}$ zu beweisen, muss man also immer aus den Voraussetzungen auf $\begin{eqnarray} x\in A\Rightarrow x\in B \end{eqnarray}$ schließen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »