Basis,Dimension von Q[Wurzel2]

16.10.2016, 20:59	PhillyMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis,Dimension von Q[Wurzel2] Zur Aufgabe 1a : Meine Frage: [attach]42763[/attach] Meine Ideen: Definition Basis: Eine Teilmenge $\begin{eqnarray} S \subseteq V \end{eqnarray}$ nennt man Basis von V wenn S ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V ist. Zu zeigen ist (1): $\begin{eqnarray} v_{1} \lambda_{1}+ .... +v_{n} \lambda_{n}= 0 \end{eqnarray}$ (2): S ist Erzeugendensystem von V, falls Span(S) = V Ich habe im Umgang mit den Definitionen im K^N-Vektorraum eigentlich keine Probleme. Allerdings kann ich mir nicht so richtig vorstellen, was Vektoren im Q[Wurzel2] Vektorraum sind. Es hapert bereits an der Beschreibung einer Linearkombination in diesem Vektorraum über Q. Von daher ist es mir nicht möglich die Aufgabe zu lösen. Es ist für mich naheliegend, dass (1, wurzel(2) ) eine Basis ist und die Dimension dementsprechend 2. Aber wie ich formal auf dieses Ergebnis komme ist mir nicht klar.
16.10.2016, 21:23	PhillyMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis,Dimension von Q[Wurzel2] Also ich könnte es mir so erklären, dass a ,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Q sind. Und da Q den Körper repräsentiert ist a = $\begin{eqnarray} \lambda_{1} , b = \lambda_{2} \end{eqnarray}$ . Dementsprechend ist V1 = 1 und V2 = $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ . i) $\begin{eqnarray} v1 ` \lambda_{1} + v2\lambda_{2} = 0 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 1 \lambda_{1}+ \sqrt{2}\lambda_{2} \end{eqnarray}$ = 0 daraus muss $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = 0 und \lambda_{2} = 0 \end{eqnarray}$ folgen. Könnte ich jetzt begründen, dass dies der Fall sein muss, da a,b $\begin{eqnarray} \in Q \end{eqnarray}$ ?
16.10.2016, 21:32	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis,Dimension von Q[Wurzel2] Die "Vektoren" im $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \end{eqnarray}$ sind die Elemente dieser Menge und die Skalare sind rationale Zahlen. Eine Linearkombination hat die Form $\begin{eqnarray} a_1x_1+\cdots+a_nx_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_i\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_i\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}] \end{eqnarray}$ . Wenn Du behauptest, dass $\begin{eqnarray} \{1,\sqrt{2}\} \end{eqnarray}$ eine Basis ist, dann musst Du zeigen, dass ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem vorliegt. Was man dazu pruefen muss, hast Du ja selber schon hingeschrieben.
16.10.2016, 21:40	PhillyMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis,Dimension von Q[Wurzel2] Danke, dann hast du mir ja meinen zweiten Beitrag bestätigt. Ich frage mich nur, ob ich i) damit gezeigt habe. Und zu ii) würde ich ein x e Q(Wurzel2) beliebig wählen und x= $\begin{eqnarray} \lambda 1 1 + \lambda 2* \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Aber wie ich das zeigen soll, weiß ich nicht. Für mich folgt das direkt aus der Definiton der Menge Q(Wurzel2).
16.10.2016, 21:53	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis,Dimension von Q[Wurzel2] Die Definition wird ja wohl $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\sqrt{2}]:=\operatorname{span}\{1,\sqrt{2}\} \end{eqnarray}$ lauten. Da brauchst Du nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ueber $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ linear unabhaengig sind. Aus $\begin{eqnarray} a\cdot1 +b\sqrt{2}=0 \end{eqnarray}$ mit rationalem $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} a=b=0 \end{eqnarray}$ folgen.
16.10.2016, 21:57	PhillyMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis,Dimension von Q[Wurzel2] Alles klar. Danke dir. Hat sich dann erledigt. 0=a + b $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ -a = b $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Fall 1. Sei a = $\begin{eqnarray} \frac{c}{d} \forall c,d \in Z \end{eqnarray}$ b = $\begin{eqnarray} \frac{e}{f} \forall e,f \in Z* \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \frac{c}{d} = \frac{e}{f} * \sqrt{2} \end{eqnarray}$ => c $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ was ein Widerspruch ist. Fall 2 Für a=b= 0 ist die Gleichung gültig.
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