Differentialgleichung lösen

16.10.2016, 22:22

schrauberking

Differentialgleichung lösen

Meine Frage:
Hallo,

also kurz vorweg. Ich kenne mich mit dem Thema überhaupt nicht aus, bin aber einen Ansatz aus dem Internet gefolgt und hänge da momentan...

Wenn f'(x)=3 * f(x) dann hab ich versucht f'(x) umzuschreiben, damit f(x) drin vorkommt.
Dann ist df(x)/ dx = 3 * f(x)

-> 1/3 * df(x) = f(x) * dx

Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter. Benötige aber dringend Hilfe, was man da als Nächtes machen könnte.

Vorallem daher, weil ich nicht weiß wie man diese d... überhaupt getrennt (nicht als Differenzialquotien) bearbeiten kann!

Für Hilfe bin ich sehr dankbar.

Meine Ideen:
schraubt

17.10.2016, 08:42

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung lösen?

Zitat:

Original von schrauberking
-> 1/3 * df(x) = f(x) * dx

Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter. Benötige aber dringend Hilfe, was man da als Nächtes machen könnte.

Hier bringt man das f(x) durch Division auf die linke Seite, läßt bei f(x) die Funktionsvariable x weg und schreibt auf beiden Seiten Integralzeichen davor. Das führt zu:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \int \frac{1}{f} ~df = \int 1 ~dx \end{eqnarray*}$

Diese Methode nennt man "Trennung der Variablen". Jetzt mußt du nur noch die Stammfunktionen bestimmen und nach f auflösen.

Alternativ hilft auch ein scharfer Blick auf die ursprüngliche Gleichung f'(x)=3 * f(x) . In Worten bedeutet das: die Ableitung ist das 3-fache der ursprünglichen Funktion. Ansonsten gibt es keine Veränderung. Die Auswahl an der derartigen Funktionen ist überschaubar. Entweder ist das die Nullfunktion oder eine e-Funktion der Form $\begin{eqnarray*} e^{kx} \end{eqnarray*}$ , wobei man sich noch überlegen muß, welchen Wert die Konstante k annimmt.

17.10.2016, 22:05

schrauberking

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RE: Differentialgleichung lösen?
Danke erstmal für die Antwort.

Ich habe mal noch ein anderes Beispiel gerechnet und da wurde mir klar, dass ich offenbar noch ein Problem habe...

Also wenn z.B y'=3x^2/e^y sein soll.

Da hieß es, dass y'=dy/dx ist.

So wie ich das verstehe ist y die Funktion und x ihre abhängige Variable.?

Aber wieso schreibt man dann nicht dy(x)/dx ?
Vorausgesetzt das ist richtig. Hammer

Was ist dann aber mit dem e^y. Das y ist doch auch eine Variable oder nicht?

Müsste es nicht dy(x,y)/x,y heißen?

Also offenbar verstehe ich hier etwas nicht und wäre natürlich sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte das zu verstehen. Gott

18.10.2016, 08:33

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung lösen?

Zitat:

Original von schrauberking
So wie ich das verstehe ist y die Funktion und x ihre abhängige Variable.?

Ja.

Zitat:

Original von schrauberking
Aber wieso schreibt man dann nicht dy(x)/dx ?

Das wäre eine mögliche Schreibweise. Man hat sich aber auf die verkürzende Schreibweise $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ geeinigt.

Zitat:

Original von schrauberking
Was ist dann aber mit dem e^y. Das y ist doch auch eine Variable oder nicht?

Im Prinzip ja, wobei hier das y für den von x abhängigen Funktionswert steht. Ausführlich geschrieben ist hier also $\begin{eqnarray*} e^{y(x)} \end{eqnarray*}$ gemeint.

18.10.2016, 18:19

schrauberking

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RE: Differentialgleichung lösen?
Oke, danke Wink

Das hat mir sehr geholfen.

Noch eine Frage. Wenn schon steht, 3x^2 dx. Impliziert das nicht schon, dass man eine Stammfunktion sucht?

Muss man dann unbedingt das Integralzeichen noch hinmachen?

Und dann habe ich noch ein Beispiel... Big Laugh

f'=3*f

Die Lösung ist ja eine e-Funktion, nur kann man da auch aus diesem Ausdruck drauf kommen? Die Variablentrennung funktioniert irgendwie nicht, ich habe ja keine Variable Hammer

Vielen Dank schonmal. Freude

18.10.2016, 19:47

mYthos

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Doch, Variable hast du schon. Mit f = y(x) ist

dy/dx = 3y

Und jetzt kannst trennen ...
-----------
Noch schneller geht's mit der Umformung zu

(1/f)*f ' = 3

Jetzt beidseits integrieren, links steht bereits eine bekannte Ableitung.

18.10.2016, 19:49

Dopap

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f' ist schon mal sehr kurz. Gemeint ist

$\begin{eqnarray*} \frac {\dd f }{\dd x}=\frac {\dd }{\dd x}\bigg(f(x)\bigg) \end{eqnarray*}$ Es gibt einige Schreibweisen. Die Funktion f wurde ja mal z.B. mit der Abbildund $\begin{eqnarray*} x \to x^2=f \end{eqnarray*}$
definiert. Wenn man es rumdreht: $\begin{eqnarray*} f=x^2 \end{eqnarray*}$

sieht etwas komisch aus, deshalb wird die Abhängigkeit von x oft mitdokumentiert
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ gefällt mir aber nicht so besonders,

$\begin{eqnarray*} f(x):=x^2 \end{eqnarray*}$ ist da schon besser.

Warum ? $\begin{eqnarray*} f(x)= 3 \end{eqnarray*}$ ist sonst zweideutig. Es könnte die Definition von f sein, aber auch, dass die schon bekannte (!) Funktion f in einer Gleichung erscheint um deren Lösungen zu bestimmen.
Also: du hast eine unabhängige und eine abhängig Variable.

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