Beweis mittels Induktion (Fehlersuche)

17.10.2016, 12:47	Pree	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mittels Induktion (Fehlersuche) Meine Frage: Hallo Zusammen, im Rahmen der Veranstaltung "Theoretische Informatik" muss ich mich mit dem Beweisen von Aussagen auseinandersetzen. Leider habe ich das nie wirklich gemacht und habe deswegen jetzt große Probleme damit. Also zu beweisen ist, folgende Aussagen: $\begin{eqnarray} \forall n \geq 1 :<br /> \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ (Keine Ahnung warum er den 1. Teil nicht linksbündig macht ^^') Meine Ideen: z.z. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Beweisform: Vollständige Induktion (IA) n = 1 Einerseits $\begin{eqnarray} \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Andererseits $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{1 +1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ also ist die Behauptung für n = 1 korrekt. (IV) Sei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{(n+2)} \end{eqnarray}$ (IS) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 - \frac{(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 - \frac{1 + (n+2)}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 - \frac{2}{(n+1)} \end{eqnarray}$ Da das Ergebnis aber $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray}$ lauten müsste, habe ich wohl gerade irgendwo einen Fehler. Ich finde ihn aber absolut nicht. Vielen Dank fürs durchlesen Ps: Tipps zur Notation werden gerne angenommen
17.10.2016, 12:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wo liegt der Fehler in meinem Beweis? Es ist ein Vorzeichenfehler im Schritt $\begin{eqnarray} = 1 - \frac{(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} = 1 - \frac{1 + (n+2)}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray}$ .

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