div rot verschwinden identisch

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17.10.2016, 19:22	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
div rot verschwinden identisch Guten Abend, in einer Aufgabe soll ich zeigen, dass div rot identisch verschwinden. Ich habe das ganze für kartesisches Koordinaten im $\begin{eqnarray} \mathbb{R} ^3 \end{eqnarray}$ gezeigt. Mich würde jetzt interessieren wie ich das ganze Koordinatenunabhängig zeigen kann. Unser Dozent meinte, dass man das über einen Integralbeweis zeigen kann, wobei man den Satz von Gaus/Stokes benutzt. Weiß jemand zufällig wie man diesen Beweis führt. Falls ja wäre ich für eine detaillierte Erklärung dankbar.
17.10.2016, 20:59	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: div rot verschwinden identisch Ungefaehr so: $\begin{eqnarray} \int_V\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec{F}\,dV=\oint_{\partial V}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\int_\gamma\vec{F}\cdot d\vec{s}+\int_{\gamma-}\vec{F}\cdot d\vec{s}=0 \end{eqnarray}$ Der Weg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ soll die Huellflaeche $\begin{eqnarray} \partial V \end{eqnarray}$ in zwei Haelften zerschneiden. Weitere Details ueberlasse ich Dir.
17.10.2016, 21:52	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: div rot verschwinden identisch Bei der ersten Gleichheit hast du ja offensichtlich den Satz von Gauß angewendet. Warum kannst du auf den zweiten Term nicht den Satz von Stokes anwenden, also $\begin{eqnarray} \int_V\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec{F}\,dV=\oint_{\partial V}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{s}=\oint_c \vec{F}\cdot d\vec{s}=0 \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht warum du die Hüellfläche schneiden möchtest? Warum die letzte Gleichheit in meiner Gleichung gilt ist klar. $\begin{eqnarray} \vec{F} \end{eqnarray}$ soll ein Wirbelfreises Vektorfeld sein, d.h. es ist Wegunabhängig und somit ist das Ringintegral gleich null.
17.10.2016, 22:02	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: div rot verschwinden identisch Weil der Satz von Stokes nicht fuer geschlossene Huellflaechen formulierbar ist. Man braucht eine Randkurve, entlang derer man die Zirkulation ausrechnen kann. Wenn man die nicht hat, fehlt ja dem Stokes die Haelfte. Und nein, die Wegintegrale (bei mir, Du hast gar keine) sind i.a. nicht null.
18.10.2016, 06:58	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Okay jetzt verstehe ich warum du die Huellfläche in zwei Hälften schneiden möchtest. Anscheinend müssen sich die beiden Ringintegrale aufheben. Was ja auch logisch ist. Egal wie ich den Schnitt ansetze, die beiden Kurven die dadurch entstehen sind gleich oder ? Falls ja, wüsste ich nicht wie ich das Mathematisch weiter korrekt ausschreiben müsste.
18.10.2016, 15:32	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hat bei Stokes zwei Moeglichkeiten fuer die Normale im Flaechenintegral und zwei Durchlaufrichtungen fuer das Wegintegral. Die Integrale aendern jeweils das Vorzeichen, wenn man wechselt. Damit die Formel stimmt und man keinen Vorzeichenfehler macht, muss man passend waehlen. Im Beispiel liegt die Normale bereits wegen Gauss als aeussere an $\begin{eqnarray} \partial V \end{eqnarray}$ fest. Bleiben noch die passenden Richtungen fuer die zwei Wegintegrale laengs $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ bei Stokes. Dafuer muesstest Du eine Regel kennen, denn das Problem tritt ja immer auf.
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18.10.2016, 20:01	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich verstehe leider nicht was du meinst. Aus der Vorlesung habe ich nur entnommen, was der Satz von Stokes und Gaus aussagt und warum er Funktioniert (wir haben keinen Mathematischen Beweis geführt, sondern die Idee wurde uns mitgeteilt). Und die allg. Definition in metrischen Faktoren und die analytische Definition. Ich kann deine Idee mit dem Schnitt nachvollziehen, der Rest fällt mir aber schwer. Könntest du, falls es möglich dies noch etwas weiter/genauer erklären?
18.10.2016, 21:05	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Thema bei Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Orientierte_Fläche Ganz besonders gut zum Stokesschen Integralsatz passt: de.wikipedia.org/wiki/Orientierte_Fläche#Fl.C3.A4chen_mit_Rand Wende das dann auf die zwei Halbsphaeren an, die man bekommt, wenn man eine Kugeloberflaeche laengs des Aequators aufschneidet. Vergiss nicht die Skizze dazu. Als zweite Uebung kannst Du auch noch einen kleinen Kreis aus der kompletten Sphaere rausschneiden.
18.10.2016, 22:46	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay aus dem Artikel ist mir klar geworden, dass der Flächennormalvektor den Umlaufsinn der Kurve angibt. Da die Normalvektoren der beiden Halbsphären genau in die entgegengesetzte Richtung zeigen werden beide Kurven im entgegengesetzten Umlaufsinn durchlaufen oder? Das bedeuted, dass sich die beiden Wegintegrale nur in ihren Vorzeichen unterscheiden und die Summe dementsprechend null ist? $\begin{eqnarray} \int_V\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec{F}\,dV=\oint_{\partial V}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\int_\gamma\vec{F}\cdot d\vec{s}+\int_{\gamma-}\vec{F}\cdot d\vec{s}=0 \end{eqnarray}$ Falls das stimmt. Könntest du mir dann noch erklären warum das Wegintegral ein negatives Vorzeichen erhält, wenn ich den Umlaufsinn ändere?
18.10.2016, 23:31	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Pointe stimmt inzwischen, aber den Witz kannst Du immer noch nicht richtig erzaehlen. Es gibt nicht die Normale, jeder Punkt auf der Flaeche hat seine eigene. Das ist ein Normalenfeld, das auf der ganzen Flaeche lebt: de.wikipedia.org/wiki/Orientierte_Fläche#/media/File:Surface_normal.png Fuer die richtige Durchlaufrichtung brauchst Du die Normalen auf der Schnittkurve. Die sind da aber bzgl. beider Halbsphaeren genau gleich. Zum Vorzeichenwechsel beim Wegintegral. Wenn man von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ in Schrittchen von $\begin{eqnarray} d\vec{s} \end{eqnarray}$ geht, dann braucht man fuer die andere Richtung Schrittchen von $\begin{eqnarray} -d\vec{s} \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} \int_A^B\vec{F}\cdot d\vec{s}=-\int_B^A\vec{F}\cdot d\vec{s}. \end{eqnarray}$
19.10.2016, 15:45	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe

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