Autonome DGL

18.10.2016, 09:58	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Autonome DGL Meine Frage: Hallo, Ich habe ein Verständnisproblem bezüglich autonomer und "nicht-autonomer" DGLs erster Ordnung. Ich verstehe den Unterschied nicht ganz. Ich weiß, welche Form solche autonomen DGLs formal haben und dass die Gleichung nicht explizit von unabhängigen Variablen abhängt. Aber ich will das einem Beispiel festmachen. Meine Ideen: Kann mir jemand sagen, wie ich z.B. B'(t)=rB(t)-bB(t)*R(t) einfach ÄNDERN kann, dass es zu einer nicht-autonomen DGL wird? Kann ich z.B. einfach ein +t dazu schreiben oder wie ist das? Danke für eure Antworten, Lissy
18.10.2016, 10:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die DGL $\begin{align} B'(t) = r\cdot B(t)-b\cdot B(t)\cdot R(t) = (r-b\cdot R(t))\cdot B(t) \end{align}$ hängt doch aber via $\begin{align} R(t) \end{align}$ implizit von $\begin{align} t \end{align}$ ab, also ist sie nicht autonom - es sei denn, $\begin{align} R(t) \end{align}$ ist eine konstante Funktion.
18.10.2016, 10:30	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also das ist eine Gleichung des Räuber-Beute-Modells, in der Literatur werden die t's weggelassen, sodass da steht: B'=rB-bBR...dann wäre sie ja autonom, aber warum werden die t's weggelassen?
18.10.2016, 11:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist, was du über $\begin{align} R(t) \end{align}$ weißt: Ist das direkt von $\begin{align} t \end{align}$ abhängig, oder selbst auch nur indirekt über $\begin{align} B(t) \end{align}$ , d.h., eigentlich $\begin{align} R(B(t)) \end{align}$ ? In letzerem Falle könnte man dann doch von einer autonomen DGL sprechen.
18.10.2016, 11:24	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt nicht darauf an, ob man die unabhängige Variable hinschreibt oder nicht. Es kommt darauf ob sie tatsächlich irgendwo in der DGL oder dem DGL-System außerhalb der gesuchten Funktion(en) und deren Ableitungen auftaucht. Dein Beispiel hast du unvollständig beschrieben. Es soll wohl $\begin{eqnarray} B(t) \end{eqnarray}$ die Beutepopulation und $\begin{eqnarray} R(t) \end{eqnarray}$ die Räuberpopulation sein. Dann gibt es ein gekoppeltes DGL-System für $\begin{eqnarray} B(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R(t) \end{eqnarray}$ . Du hast nur eine der DGLs hingeschrieben. In dem System sind $\begin{eqnarray} B(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R(t) \end{eqnarray}$ die gesuchten Funktionen. Und außerhalb dieser beiden gesuchten Funktionen und ihrer Ableitungen taucht $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nirgends auf. Deshalb ist das ein autonomes System. Hätte man nur deine DGL für $\begin{eqnarray} B(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R(t) \end{eqnarray}$ wäre eine gegebene Funktion, so würde $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ außerhalb von $\begin{eqnarray} B(t) \end{eqnarray}$ und seiner Ableitung auftauchen und man hätte keine autonome DGL, wie schon HAL ausführte.
18.10.2016, 11:34	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsoooo Ich dachte die ganze Zeit, man könne das an einer Gleichung festmachen, weshalb ich sozusagen als Beispiel nur eine Gleichung angegeben habe. Jetzt ist mir allerdings klar, warum das ein autonomes System ist. Danke ihr Zwei !
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