Richtungsfelder/Lotka-Volterra

18.10.2016, 12:34

lissy1234567

Richtungsfelder/Lotka-Volterra

Meine Frage:
Hey,
Ich habe folgende Frage:
Da ich mich gerade mit den Lotka-Volterra-Gleichungen beschäftige und ebenso mit Richtungsfeldern, haben sich einige Unklarheiten gegeben:
Also hat man Räuber und Beute gegeben nach den LV-Gleichungen, dann kann man die Lösungen dieser DGLs einmal als Zeit-Anzahl.der.Population-Diagramm (Oszillation) zeichnen und einmal als Räuber-Beute-Diagramm. Das letztere wäre ein Richtungsfeld. Meine Frage lautet jetzt:
Wie kann man von Hand das Diagramm zeichnen, bei dem die Oszillation entsteht?

Meine Ideen:
Bei dem Richtungsfeld ist mir alles klar, ich setze Punkte ein und erhalte die Steigung, wodurch irgendwann ein Fluss zu erkennen ist, der dann die Lösungskurven zu verschiedenen Anfangswerten angibt.
Das Oszillations-Diagramm gibt ja allerdings auch Lösungskurven an und von Hand bekomme ich es nicht hin, das zu zeichnen. Außerdem frage ich mich, warum dieses Diagramm nicht auch ein Richtungsfeld ist?
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Zur Info:
Wir haben: B'=r*B-b*B*R
R'=b*B*R-s*R für das Diagramm der Oszillation
und: dR/dB= b*B*R-s*R / r*B-b*B*R für das Richtungsfeld.
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Danke für eure Hilfe smile

Lissy

18.10.2016, 13:34

Huggy

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RE: Richtungsfelder/Lotka-Volterra

Zitat:

Original von lissy1234567
Wie kann man von Hand das Diagramm zeichnen, bei dem die Oszillation entsteht?

Mit diesem speziellen DGL-System bin ich nicht wirklich vertraut. Aber ich fürchte, man muss das System numerisch lösen. Und das ist von Hand höchst unhandlich. Also doch lieber den Rechenknecht anwerfen.

18.10.2016, 13:54

lissy1234567

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RE: Richtungsfelder/Lotka-Volterra
Okay super, danke ! smile

Hab es mir schon gedacht Wink

18.10.2016, 13:55

lissy1234567

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RE: Richtungsfelder/Lotka-Volterra
Bleibt nur noch die Frage, warum das Oszillations-Diagramm kein Richtungsfeld ist verwirrt

18.10.2016, 14:34

Huggy

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RE: Richtungsfelder/Lotka-Volterra
Im Prinzip kann man da schon ein Richtungsfeld zeichnen und erhält dann durch Verbindung der Richtungsvektoren einen genäherten zeitlichen Verlauf der Lösung. Das Problem hier ist, dass man ein gekoppeltes DGL-System hat und daher die Richtungsvektoren von 2 Funktionswerten abhängen. Man braucht also ein 3-dimensionales Diagramm. Und das macht die Sache nicht wirklich übersichtlich.

Hat man eine einzelne DGL

$\begin{eqnarray*} x'(t)=f(x,t) \end{eqnarray*}$

kann man leicht ein Richtungsfeld zeichnen. Man nimmt ein kartesisches Koordinatensystem $\begin{eqnarray*} (t,x) \end{eqnarray*}$ und kann dann aus der DGL in jedem Punkt des Koordinatensystems den Richtungsvektor einzeichnen. Bei einer autonomen DGL

$\begin{eqnarray*} x'(t)=f(x) \end{eqnarray*}$

vereinfacht sich das nochmal, weil die Richtungsvektoren in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ alle parallel sind.

Hat man aber ein gekoppeltes DGL-System

$\begin{eqnarray*} x'(t)=f(x,y,t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(t)=g(x,y,t) \end{eqnarray*}$

braucht man ein 3-dimensionales Koordinatensysteme $\begin{eqnarray*} (t,x,y) \end{eqnarray*}$ und kann dort in jedem Punkt den Richtungsvektor mittels $\begin{eqnarray*} (x',y') \end{eqnarray*}$ einzeichnen. Solch 3-dimensionale Richtungsvektordiagramme sind aus meiner Sicht aber wenig hilfreich.

18.10.2016, 14:41

lissy1234567

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RE: Richtungsfelder/Lotka-Volterra
Okay danke smile

))

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