Summenwert und Integral

18.10.2016, 16:28	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenwert und Integral Halllo, Beweise, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}}<19 \end{eqnarray}$ Meine Idee war ein Integral zu bilden. Normalerweise würde ich noch einen Term wie $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ erwarten aber ich dachte mir einfach, die Werte werden auch so einigermassen nahe beieinander sein. Also $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}}\sim \int_0^{100} \frac{1}{\sqrt{x}}dx=18<19 \end{eqnarray}$ das ist wohl falsch. Was sie machten war: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} < 1+ \int_0^{100} \frac{1}{\sqrt{x}}dx=19 \end{eqnarray}$ Nun, woher kommt die 1 die sie hier addieren und was ist an meiner Version nicht gut?
18.10.2016, 16:44	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenwert und Integral Nun ja, erst mal ist: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt k} = 1 + \sum_{k=2}^{100} \frac{1}{\sqrt k} < 1+ \int_1^{100} \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 19 \end{eqnarray}$ Beachte, daß das Integral bei 1 beginnt.
18.10.2016, 16:48	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja, sorry. Das ist ein Schreibfehler weil ich gerade 4 Stunden lang 0 als untere Grenze hatte. :p Ich seh es tortzdem nicht. Was halt auf ein fundamentales Verständnisproblem hindeutet :/ Das "rausziehen" der 1 habe ich mir auch überlegt - da ich mich erinnere, dass der Index sozusagen um 1 verschoben ist. Ich dachte aber, dass sei schon "gemacht" da ja k bei 1 beginnt. hmm - ich muss mal schauen wie ich mein Verständnis von Summe und Integral verbessern kann :/ Edit: Ich werde mir hier wohl ne eigene Theorie schreiben (also in eigenen Worten die bestehende :P )- das zeigt dann sehr schnell auf wo mein Denkfehler ist.
18.10.2016, 16:54	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fläche von dem Rechteck von x_1 = 1 bis x_2 = 2 und Höhe 1/Wurzel(2) ist gleich 1/Wurzel(2) und das ist wiederum kleiner als $\begin{eqnarray} \int_1^2 \frac{1}{\sqrt x} ~dx \end{eqnarray}$ .

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