Lineares Optimierungsproblem zusammenstellen

18.10.2016, 18:21	noAhnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Optimierungsproblem zusammenstellen Meine Frage: Hallihallo Ich habe momentan folgende Aufgabe vor mir: Ein Kantinenleiter hat folgendes Problem: Ein Erwachsener soll täglich mindestens 75g Protein, 90g Fett und 300g Kohlenhydrate aufnehmen. Nehmen Sie an, dass diese Forderungen erfüllt werden sollen und die folgenden Informationen beachtet werden sollen. Welche Waren sollten gekauft werden und wie viel sollte von jedem Gut gekauft werden, wenn die billigste Möglichkeit realisiert werden soll? Die Anzahl Gramm an Proteinen, Fett und Kohlenhydraten in 100g einer Reihe von Nahrungsmitteln ist in wie folgt gegeben: Nüsse: 8g Protein, 35g Fett, 4g Kohlenhydrate Hähnchen: 30g Protein, 8g Fett, 0g Kohlenhydrate Fisch: 35g Protein, 7g Fett, 0g Kohlenhydrate Backpflaumen: 3g Protein, 1g Fett, 37g Kohlenhydrate Weißbrot: 7g Protetin, 3g Fett, 54g Kohlenhydrate Käse: 25g Protein, 33g Fett, 0g Kohlenhydrate Schwarzbrot: 6g Protein, 13g Fett, 63g Kohlenhydrate Margarine: 0g Protein, 98g Fett, 0g Kohlenhydrate Es soll eine Höchstgrenze von 100g Brot pro Tag und pro Person berücksichtigt werden und jede Person soll mindestens soviel Schwarz- wie Weißbrot verzehren. Die Preise in Öre der Lebensmittel pro 100g werden wie folgt angenommen: Nüsse: 100 Haferflocken: 110 Fisch: 90 Backpflaumen: 97 Weißbrot: 62 Käse: 124 Schwarzbrot: 98 Margarine: 67 Formulieren Sie die Aufgabe, vor der der Kantinenleiter steht, als LP-Problem. Meine Ideen: An sich ist das ja gar nicht soooo kompliziert. Mein bisheriger Lösungsansatz lautet $\begin{eqnarray} minimiere \,\, 100x_1 + 110x_2 + 90x_3 + 97x_4 + 62x_5 + 124x_6 + 98x_7 + 67x_8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} unter \,\, den \,\, Nebenbedingungen \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8x_1 + 30x_2 + 35x_3 + 3x_4 + 7x_5 + 25x_6 + 6x_7 \geq 75 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 35x_1 + 8x_2 + 7x_3 + x_4 + 3x_5 + 33x_6 + 13x_7 + 98x_8 \geq 90 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x_1 + 37x_4 + 54x_5 + 63x_7 \geq 300 \end{eqnarray}$ Und nun bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich verfahren soll bei der Brotbedingung. Da nur 100g Brot pro Tag gegessen werden soll, muss ich ja auf jeden Fall schon einmal beide Brotmengen halbieren, da ja alle Angaben auf 100g verteilt sind. Also lautet die Bedingung dann $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x_5 + \frac{1}{2}x_7 \leq 100 \end{eqnarray}$ ? Aber die Angabe, dass mindestens genauso viel Schwarzbrot wie Weißbrot gegessen werden soll. Verwirrt mich. Wie genau kann ich denn so etwas angeben? Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen? Wäre sehr dankbar dafür! Außerdem darf natürlich am Ende die Nichtnegativitätsbedingung nicht fehlen mit $\begin{eqnarray} x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8 \geq 0 \end{eqnarray}$ ! Wäre sehr glücklich, wenn jemand fix eine Auge drauf werfen könnte.
18.10.2016, 19:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig ist a) $\begin{eqnarray} x_5+x_7\le 1 \end{eqnarray}$ , damit wird maximal 100g Brot gegessen b) $\begin{eqnarray} x_7\ge x_5\Leftrightarrow -x_5+x_7\ge 0 \end{eqnarray}$ sorgt für mehr Schwarz- als Weißbrot alles andere sieht gut aus
18.10.2016, 19:55	noAhnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Vielen Dank für die schnelle Antwort! Also die letzte Nebenbedingung ist natürlich absolut logisch, wenn ich sie jetzt sehe. Aber die erste erschließt sich mir nur halb. Woher kommt denn die 1? Gehst du von Prozenten aus oder so?
18.10.2016, 21:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast schon bemerkt, dass alle Angaben in 100 g sind. Mit anderen Worten: eine Variable nimmt genau dann den Wert 1 an, wenn die Nahrung 100 g Masse hat. Das gilt auch für Brot.
19.10.2016, 19:22	noAhnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaaah! Es hat lang gedauert, bis es gerade Klick bei mir gemacht hat, aber jetzt macht auch das vollkommen Sinn! Klar der Wert 1 einer Variable entspricht 100g, so wie es angegeben war. Vielen lieben Dank für die gute und schnelle Hilfe!

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