Rechnen mit dem Nabla-Operator

18.10.2016, 19:09

manuel459

Rechnen mit dem Nabla-Operator

Liebe Community,

ich soll folgendes berechnen, verstehe aber die formelle Schreibweise nicht ganz:

(A nablaoperator ) B

es seien A,B Vektoren mit x,y,z und Nabla gegeben

muss man hier quasi ein Skalarprodukt von Vektor und Nabla berechnen und das dann mal B oder soll man einfach die klammern ignorieren?

Danke und LG
Manuel

19.10.2016, 09:49

Ehos

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Aus zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b \in \mathbf{R}^3 \end{eqnarray*}$ wird folgende Rechenoperation definiert, welche wiederum einen Vektor ergibt:

$\begin{eqnarray*} (\vec a \nabla )\vec b=\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial b_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial b_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial b_1}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial b_2}{\partial x_1} & \tfrac{\partial b_2}{\partial x_2} & \tfrac{\partial b_2}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial b_3}{\partial x_1} & \tfrac{\partial b_3}{\partial x_2} & \tfrac{\partial b_3}{\partial x_3} \end{pmatrix}}_{\text{Matrix}}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieser Vektor ist gewissermaßen die Richtungsableitung des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ .

19.10.2016, 20:03

manuel459

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hmm... ich kann damit leider garnix anfangen :/

wieso leite ich da nach x1,x2,x3 ab? :O
woher kommt das?

ums dazuzusagen, wir haben bis jetzt nur rotation und gradient behandelt.

lg Manuel

20.10.2016, 08:56

Ehos

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Wie man sieht, ist die i-te Zeile der Matrix gerade der Gradient der i-ten Komponente des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec b=(b_1|b_2|b_3) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (\tfrac{\partial b_i}{\partial x_1}|\tfrac{\partial b_i}{\partial x_2}|\tfrac{\partial b_i}{\partial x_3})=\nabla b_i \end{eqnarray*}$

20.10.2016, 09:28

Huggy

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Was Ehos hingeschrieben hat, ist doch identisch mit deiner Vermutung

Zitat:

muss man hier quasi ein Skalarprodukt von Vektor und Nabla berechnen und das dann mal B

$\begin{eqnarray*} (\vec a \cdot \vec \nabla) \vec b \end{eqnarray*}$

20.10.2016, 16:18

manuel459

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ich meinte damit quasi ein Skalarprodukt von A und Nabla sprich: (Axdx+Aydy+Azdz ) *B

warum muss man hier jedes Element von Vektor B nach allen 3 Raumkoordinaten ableiten?

Nabla * Vektor ist ja definiert als Bxdx+Bydy+Bzdz oder nicht?

lg Manuel

20.10.2016, 19:16

Huggy

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Quark!
Der Nablaoperator ist definiert als

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla = (\frac {\partial }{\partial x},\frac {\partial }{\partial y},\frac {\partial }{\partial z}) \end{eqnarray*}$

Das formale Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \nabla \end{eqnarray*}$ ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec\nabla=a_1\frac {\partial }{\partial x}+a_2\frac {\partial }{\partial y}+a_3\frac {\partial }{\partial z} \end{eqnarray*}$

Und das ist auf die 3 Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ anzuwenden.

20.10.2016, 19:33

manuel459

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aah jetzt hab ichs kapiert!

vielen dank! Big Laugh

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