Partielle DGLs, Poissonsche Integralformel und Mittelwerteigenschaft

19.10.2016, 13:32

Studentu

Partielle DGLs, Poissonsche Integralformel und Mittelwerteigenschaft

Hallo Mathe-Community,

ich habe zwei Beispiele zur Poissongleichung, bei denen ich mit meinen Ideen nicht recht vorankomme:

1)Sei $\begin{eqnarray*} B_1(0) \end{eqnarray*}$ die n-dimensionale Einheitskugel um den Ursprung und sei $\begin{eqnarray*} u \in C^{2}(B_1(0))\cap C^0\overline{(B_1(0))} \end{eqnarray*}$ eine klassische Lösung von $\begin{eqnarray*} \Delta u = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} B_1(0) \end{eqnarray*}$ und u(x) = $\begin{eqnarray*} ax_1^2 \end{eqnarray*}$ auf dem Rand.
i) Bestimme ein reelles a, sodass u(0)=1.
2)Berechne nabla u(0).
Leider habe ich dazu keine richtige Idee, evtl. die Anwendung der Poissonschen Integralformel?

2) Sei $\begin{eqnarray*} \Omega = \{x \in \mathbb{R}^n: |x|>1\} \end{eqnarray*}$ (unbeschränkt) und $\begin{eqnarray*} u \in C^2(\Omega) \cap L^0(\Omega) \end{eqnarray*}$ mit nabla u = 0 in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .
Zusätzlich gelte: $\begin{eqnarray*} \lim_{|x| \to \infty} \end{eqnarray*}$ u(x) = 0, $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} sup_{x \in \Omega}|u(x)| = sup_{x \in \text{Rand}(\Omega)}|u(x)|. \end{eqnarray*}$

Weiß jemand von euch, wie man das löst? Beim zweiten würde ich ans Maximumprinzip denken, aber da müsste Omega ja beschränkt sein?

19.10.2016, 19:58

10001000Nick1

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Bei der ersten Aufgabe kommst du mit der Poissonschen Integralformel weiter, ja.

Bei der zweiten Aufgabe betrachte zuerst das Gebiet $\begin{eqnarray*} \Omega\cap B_R(0)=\{x\in\mathbb R^n\mid 1<|x|<R\} \end{eqnarray*}$ und wende dort das Maximumprinzip an. Dann lässt du $\begin{eqnarray*} R\to\infty \end{eqnarray*}$ laufen.

20.10.2016, 00:01

Studentu

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Hallo 10001000Nick1, danke für deine Antwort.

Könntest du bei 1) vlt. etwas präziser sein? Also bei der Poissonschen Integralformel habe ich:
$\begin{eqnarray*} u(0)=\frac{R^2 - |0|^2}{RS_n} \int_{\text{Rand}B_R(0)}\frac{u(y)}{|0-y|^n}ds =\frac{R}{S_n}\int_{\text{Rand}B_R(0)} \frac{u(y)}{|y|^n} ds \end{eqnarray*}$ .
Wie integrierst du denn das? (Und in welchem Zusammenhang stehen da y und s?)
Für u kann ich dann die u-Funktion auf dem Rand mit dem a einsetzen und umformen, wenn ich integriert habe, nehme ich an? Aber vlt. hast du einen Tipp, wie ich von obigem Ausdruck so weit komme?

Bei 2) würde ich sagen, u ist auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ konstant, weil die ersten Ableitungen alle null sind. Sagen wir, u=c auf Omega. Damit ist sup u(x) = c für x aus $\begin{eqnarray*} \Omega \cap B_R(0) \end{eqnarray*}$ .
Außerdem wissen wir ja, dass der limes nach null konvergiert, aber wie kann man das schön in Zusammenhang bringen und ausformulieren?

20.10.2016, 07:46

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Studentu
Also bei der Poissonschen Integralformel habe ich:
$\begin{eqnarray*} u(0)=\frac{R^2 - |0|^2}{RS_n} \int_{\text{Rand}B_R(0)}\frac{u(y)}{|0-y|^n}ds =\frac{R}{S_n}\int_{\text{Rand}B_R(0)} \frac{u(y)}{|y|^n} ds \end{eqnarray*}$ .

Bist du dir sicher, dass ihr die Formel genau so aufgeschrieben habt? Ich denke, der Vorfaktor müsste $\begin{eqnarray*} \frac{1-|0|^2}{S_n} \end{eqnarray*}$ lauten. ( $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ soll ja sicherlich die Oberfläche der n-dimensionalen Einheitssphäre sein.)

Das $\begin{eqnarray*} ds \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass du hier ein Oberflächenintegral hast.

Bzw. weiter umgeformt und eingesetzt steht dann da: $\begin{eqnarray*} u(0)=\frac{1}{S_n}\int_{\partial B_R(0)}\! \frac{ay_1^2}{|y|^n}\, ds=\frac{a}{S_n}\int_{\partial B_R(0)}\! \frac{y_1^2}{|y|^n}\, ds \end{eqnarray*}$ .

Ob/wie man dieses Integral schön ausrechnen kann, sehe ich gerade nicht. Aber eigentlich ist das auch gar nicht nötig. Der Term soll gleich 1 sein, also kannst du einfach nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ umstellen; das Integral bleibt so, wie es ist.

Zu der zweiten Aufgabe: Ich dachte gestern, da steht $\begin{eqnarray*} \Delta u=0 \end{eqnarray*}$ in der Aufgabe.
Ist das mit dem $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ vielleicht nur ein Fehler? Wenn die Aufgabe wirklich genau so gemeint ist, wäre nicht viel zu tun: Wie du schon sagtest, wäre $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ dann konstant; und wegen der Randbedingung gilt dann $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Die beiden Suprema sind dann offensichtlich gleich.
Von daher würde ich eher auf einen Fehler in der Aufgabe tippen.

20.10.2016, 12:52

Studentu

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Danke, 10001000Nick1,

dann habe ich also ein a in Abhängigkeit von Sn und dem Integral. (Der Vorfaktor steht bei uns tatsächlich so im Skript wie ich es geschrieben habe und nicht mit der 1, aber es geht mir eh eher um den Lösungsweg...).
Auch wenn es nichts zur Aufgabe tut, aber kann ich das y aus dem Integranden als Element aus dem Rand auffassen?
Wie funktioniert der zweite Teil? Weil die erste Ableitung und das Integral heben sich ja irgendwie gegenseitig auf... nur ist mir nicht klar, wie genau, ich kann ija das Inegral nicht einfach wegfallen lassen. Und wie es helfen könnte, die Ableitung ins Integral hineinzuziehen, sehe ich momentan auch nicht?

Bei der zweiten Aufgabe hast du vermutlich Recht und es handelt sich um einen Angabefehler. Können wir dann begründen, dass das Maximumprinzip anwendbar ist, somit sowohl das Supremum als auch das Infimum im Inneren gleich dem Supremum/Infimum auf dem R-Rand ist? Und weil der limes für R geht nach unendlich Null ist, ist u konstant gleich Null im Inneren und auf dem Rand?

21.10.2016, 15:49

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Studentu
Auch wenn es nichts zur Aufgabe tut, aber kann ich das y aus dem Integranden als Element aus dem Rand auffassen?

Du integrierst über den Rand der Kugel; das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in dem Integral ist also immer ein Randpunkt.

Beim zweiten Teil habe ich gerade leider keine Idee. Wenn mir noch etwas einfällt, schreibe ich nochmal.

Und zur zweiten Aufgabe: Aus den Voraussetzungen kannst du nicht schlussfolgern, dass $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ konstant ist.

Das Maximumprinzip sagt dir: $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in\Omega\cap B_R(0)} |u(x)|=\sup_{x\in\partial(\Omega\cap B_R(0))} |u(x)|=\max\left(\sup_{|x|=1} |u(x)|, \sup_{|x|=R} |u(x)|\right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt $\begin{eqnarray*} R\to\infty \end{eqnarray*}$ laufen lassen.

21.10.2016, 17:42

IfindU

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Zum zweiten Teil kann man $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ über die explizite Formel einfach ableiten.

Zum Lösen des Integrals (es geht recht leicht über Fubini).
Dazu bemerke man, dass $\begin{eqnarray*} \partial B_1 = \{ (y_1, y') \in \mathbb R \times \mathbb R^{n-1}: |y| = 1\} = \bigcup_{y_1 \in [-1,1] } \{ y_1 \} \times \{ y' \in \mathbb R^{n-1}: | y'|^2= 1 - y_1^2\} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \partial B_1 =\bigcup_{y_1 \in [-1,1] } \{ y_1 \} \times \partial B_{\sqrt{ 1 - y_1^2}} \end{eqnarray*}$ .

Also ist
$\begin{eqnarray*} \int_{\partial B_1} \frac { y_1^2 } {|y|^2} dy= \int_{\partial B_1} y_1^2 dy = \int_{-1}^1 y_1^2 \cdot \mathcal H^{n-2} (\partial B_{\sqrt{ 1 - y_1^2}} ) d y_1 \end{eqnarray*}$ .

Mit
$\begin{eqnarray*} \mathcal H^{n-2} (\partial B_{\sqrt{ 1 - y_1^2}} ) = S_{n-1} ( 1 - y_1^2)^{\frac { n-2} 2} \end{eqnarray*}$ bleibt es ein eindimensionales Polynom zu integrieren.

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