Normalkrümmung bestimmen

19.10.2016, 19:57	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalkrümmung bestimmen Meine Frage: Gegeben ist die Fläche im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (u,v)\to(u,v,u^2+2v^2) \end{eqnarray}$ Ich möchte die Normalkrümmung $\begin{eqnarray} \kappa_n \end{eqnarray}$ in Richtung $\begin{eqnarray} f_u+f_v \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen: Wir haben die Weingartenabbildung als negative Ableitung der Gaußabbildung definiert. Die Eigenwerte der Weingartenabbildung sind die Hauptkrümmungen. Dann kann man den Eulerschen Satz verwenden: $\begin{eqnarray} \kappa_n=\kappa_1cos^2 \phi+\kappa_2 sin^2 \phi \end{eqnarray}$ Ich hab eine Menge gerechnet, es kommen bei mir aber nur hässliche Dinge raus, weiß jemand eine einfachere Methode oder kann mir sonst irgendwie weiterhelfen? Als Alternative habe ich noch probiert, (erste Fundamentalformmatrix)^-1*(zweite Fundamentalformmatrix) zu rechnen, die Terme werden hier aber auch so hässlich, dass ich nicht glaube, dass es so stimmt. Edit: Was ich jetzt noch gemacht habe, ist die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung zu berechnen. daraus lassen sich die Hauptkrümmungen einfach bestimmen, es entstehen aber wieder riesige Terme Ich hab jetzt als Normalkrümmung den Wert 3 rausbekommen. Überall für u und v 0 einsetzen dann wirds handlicher..
20.10.2016, 10:28	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Anschaulich kann man die Normalkrümmung wie folgt motivieren: Ein Massepunkt der Masse m=1kg bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v(t)=1 m/s entlang einer beliebigen Kurve $\begin{eqnarray} [u(t), v(t)] \end{eqnarray}$ auf der gekrümmten Fläche $\begin{eqnarray} \vec f[u(t),v(t)] \end{eqnarray}$ . Um diesen Massepunkt auf der Kurve (und folglich auch auf der gekrümmten Fläche) zu halten, ist laut Newton eine Kraft $\begin{eqnarray} \vec F=m\ddot {\vec x} \end{eqnarray}$ notwendig. Diese Kraft $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ hat wegen m=1kg denselben Zahlenwert wie die Beschleunigung $\begin{eqnarray} \ddot {\vec x} \end{eqnarray}$ . Man bezeichnet diese Beschleunigung $\begin{eqnarray} \ddot {\vec x} \end{eqnarray}$ (bzw. die Kraft $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ ) als Krümmungsvektor. Es ist vernünftig, diese Beschleunigung als Summe zweier Anteile darzustellen: 1. Anteil in Richtung des Normalvektors $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\vec n\|=1 \end{eqnarray}$ 2. Anteil in Richtung des Tangentialvektors $\begin{eqnarray} \vec t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\vec t\|=1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \ddot {\vec x}=\kappa_n\cdot \vec n+\kappa_t\cdot \vec t \end{eqnarray}$ Die Koeffizienten $\begin{eqnarray} \kappa_n, \kappa_t \end{eqnarray}$ bezeichnet man als Normalkrümmung bzw. als Tangentialkrümmung (oft auch geodätische Krümmung). Die Normalkrümmung ist ein Maß dafür, wie steil die Berge und Täler auf der gekrümmten Fläche sind (lokal betrachtet). -------------------------------------------------------------------------- In der Vorlesung habt ihr gehört, dass die Normalkrümmung $\begin{eqnarray} \kappa_n \end{eqnarray}$ der Quotient aus der Zweiten und Ersten Grundform ist, also $\begin{eqnarray} \kappa_n=\frac{\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ Wie man leicht sieht, ist beim gegebenen Paraboloid $\begin{eqnarray} \vec f(x,y)=\begin{pmatrix} u \\ v \\ u^2+2v^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Richtungsvektor $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec f}{\partial u}+\tfrac{\partial \vec f}{\partial v} \end{eqnarray}$ im Punkt (u\|v)=(0\|0) gerade der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Damit kannst du den Quotienten aus der Zweiten und Ersten Grundform berechnen.
20.10.2016, 21:22	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir hab's hingekriegt

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