Vollständige Induktion von 2^n > n^2

20.10.2016, 21:03

h4nk

Vollständige Induktion von 2^n > n^2

Hallo Leute, ich bin kompletter Neuling im Bezug aufs beweisen. Die Aufgabe war, mithilfe von vollständiger Induktion zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$ für N > 4 wahr ist.

Ich habe mir jetzt das im Anhang zusammengewurschtelt, allerdings bin ich mir nichtmal sicher, ob es schlüssig bewiesen ist in mathematischer Hinsicht.

Danke für eure Hilfe!

Latex korrigiert. Guppi12

21.10.2016, 08:55

klarsoweit

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RE: voll. Induktion von 2^n > n^2
Genrell: du solltest mehr Prosa einfügen, beispielweise, daß du unter Punkt (1) den Induktionsanfang machst und unter Punkt (2) den Induktionsschritt.
Dann solltest du mit dem Implikationspfeil ==> vorsichtig umgehen. Beispielweise folgt aus $\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$ noch nicht, daß $\begin{eqnarray*} 2^5 > 5^2 \end{eqnarray*}$ ist, denn die Gültigkeit der ersten Ungleichung muß ja noch bewiesen werden.

Was denn Beweis der Ungleichung n^2 > 2n+1 angeht, kann man das so machen, es geht aber einfacher: wegen n >=5 gilt: $\begin{eqnarray*} n^2 = n \cdot n > 3n = 2n + n > 2n+1 \end{eqnarray*}$ .

Den Beweis im Induktionsschritt kann man auch schöner in einem "Guß" machen:

Für ein n gelte $\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$ . Dann folgt: $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \underbrace{>}_{I.V.} 2 n^2 = n^2 + n^2 > n^2 + 2n+1 = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ q.e.d.

21.10.2016, 12:17

h4nk

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Vielen Dank für die hilfreiche Antwort, du hast völlig recht. Der nächste Beweis wird mit Schritten aufgeschrieben! Oder der hier nochmal, wenn ich noch Zeit finde.

Was mir schwer fällt ist, zu merken, wann ich aufhören kann mit "beweisen". Also ab wann es logisch ist. An diesem Beispiel sieht man es recht gut:

n >=5 gilt: $\begin{eqnarray*} n^2 > 3n \end{eqnarray*}$

Warum reicht das nicht? Als Laie würde ich sagen, dass doch jeder sieht, das 3n > 2n + 1 sein muss im Fall n>=5.

$\begin{eqnarray*} n \cdot n > 2n + n > 2n+1 \end{eqnarray*}$

Stattdessen splitte ich es hier nochmal auf. Vielleicht steh ich aber auf dem Schlauch..

21.10.2016, 12:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von h4nk
Als Laie würde ich sagen, dass doch jeder sieht, das 3n > 2n + 1 sein muss im Fall n>=5.

Das mit dem "leicht Sehen" ist natürlich so eine Sache. Im Zweifelsfall würde ich eher etwas mehr erläutern als zu wenig. Je nach Kontext darf man natürlich einen gewissen Background erwarten. Den direkten Schritt 3n > 2n + 1 würde ich gelten lassen. Daß aber beispielsweise $\begin{eqnarray*} u + \frac 1 u \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist für alle u > 0, ist vielleicht nicht sofort einzusehen.

21.10.2016, 14:31

h4nk

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Alles klar, danke!

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