Indexverschiebung bei k=-n

21.10.2016, 11:48

Mathefreaknicht

Indexverschiebung bei k=-n

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich versuche gerade eine Umformung nachzuvollziehen und schaffe es nicht vom Schlauch herunter.
Es geht um die Indexverschiebung, speziell um "k".
Folgende Summe ist gegeben: \sum\limits_{k=-n}^{n} x^{k}

Meine Ideen:
Bekanntermaßen ist k=0 erforderlich.
In der Summen-"Vorschau" heißt es: x^{-n} + x^{-n+1} + ... x^{n} // genau
Mittels des Distributivgesetzes/ausklammern von: x^{-n} (x^{0} + x^{1} + ...
will mein Prof erfahren, dass das Ende/n = x^{2n} sein muss.

Diesen Schritt verstehe ich nicht, ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Als Beispiel klammert er nämlich eine "5" aus einer 3 aus.
0=3 //5 ausklammern
5 = 3 \frac{5}{3}. Daraus schließt er, dass \frac{x^{n}}{x^{-n}} = x^{2n} sein muss.
Irgend eine Idee was gemeint sein sollte, oder was an meinen Aufzeichnungen falsch wäre?

21.10.2016, 11:52

Rubens

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RE: Indexverschiebung bei k=-n
Meine Frage:
Hallo zusammen, ich versuche gerade eine Umformung nachzuvollziehen und schaffe es nicht vom Schlauch herunter.
Es geht um die Indexverschiebung, speziell um "k".
Folgende Summe ist gegeben: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-n}^{n} x^{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bekanntermaßen ist k=0 erforderlich.
In der Summen-"Vorschau" heißt es: $\begin{eqnarray*} x^{-n} + x^{-n+1} + ... x^{n} \end{eqnarray*}$ // genau
Mittels des Distributivgesetzes/ausklammern von: $\begin{eqnarray*} x^{-n} (x^{0} + x^{1} + ... \end{eqnarray*}$
will mein Prof erfahren, dass das Ende/n = $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ sein muss.

Diesen Schritt verstehe ich nicht, ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Als Beispiel klammert er nämlich eine "5" aus einer 3 aus.
0=3 //5 ausklammern
5 = 3 $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{3}) \end{eqnarray*}$ . Daraus schließt er, dass $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}}{x^{-n}} = x^{2n} \end{eqnarray*}$ sein muss.
Irgend eine Idee was gemeint sein sollte, oder was an meinen Aufzeichnungen falsch wäre?

21.10.2016, 12:03

klarsoweit

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RE: Indexverschiebung bei k=-n
Ich verstehe nicht so ganz, wo du denkst, daß an deinen Aufzeichnungen etwas falsch wäre.
Wenn du einen Faktor aus einer Summe ausklammerst, dann mußt du jeden Summanden dieser Summe durch diesen Faktor dividieren. Der Rest ist Potenzrechnung.

EDIT: was machen wir jetzt mit dem Account "Mathefreaknicht"?

Der wird demnächst gelöscht. Steffen

21.10.2016, 12:03

magic_hero

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RE: Indexverschiebung bei k=-n

Zitat:

Original von Rubens
Meine Ideen:
Bekanntermaßen ist k=0 erforderlich.
In der Summen-"Vorschau" heißt es: $\begin{eqnarray*} x^{-n} + x^{-n+1} + ... x^{n} \end{eqnarray*}$ // genau
Mittels des Distributivgesetzes/ausklammern von: $\begin{eqnarray*} x^{-n} (x^{0} + x^{1} + ... \end{eqnarray*}$
will mein Prof erfahren, dass das Ende/n = $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ sein muss.

Wenn man $\begin{eqnarray*} x^{-n} \end{eqnarray*}$ ausklammert, muss man das natürlich wieder ausgleichen, man kann also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-n}^{n} x^{k} = x^{-n} \sum\limits_{k=-n}^{n} x^{k+n} \end{eqnarray*}$ schreiben. Damit ist der erste Summand der Summe $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ und der letzte eben $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Rubens
Diesen Schritt verstehe ich nicht, ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Als Beispiel klammert er nämlich eine "5" aus einer 3 aus.
0=3 //5 ausklammern
5 = 3 $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{3}) \end{eqnarray*}$ .

Hier verstehe ich nicht, was du mir sagen willst, da stehen unsinnige Aussagen wie 0=3. Außerdem erkenne ich den Zusammenhang nicht wirklich.

Zitat:

Original von Rubens
Daraus schließt er, dass $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}}{x^{-n}} = x^{2n} \end{eqnarray*}$ sein muss.

Ja, das ist so. Es gilt schließlich $\begin{eqnarray*} x^a \cdot x^b = x^{a+b} \end{eqnarray*}$ (oder die Variante $\begin{eqnarray*} \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} \end{eqnarray*}$ ), eine Rechenregel für Potenzen, die eigentlich aus der Schule bekannt sein sollte.

/EDIT: Zu spät.

21.10.2016, 12:21

Rubens

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RE: Indexverschiebung bei k=-n

Zitat:

Original von magic_hero

Zitat:

Original von Rubens

Als Beispiel klammert er nämlich eine "5" aus einer 3 aus.
0=3 //5 ausklammern
5 = 3 $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{3}) \end{eqnarray*}$ .

Hier verstehe ich nicht, was du mir sagen willst, da stehen unsinnige Aussagen wie 0=3. Außerdem erkenne ich den Zusammenhang nicht wirklich.

Genau in diesem Punkt qualmte mir der Kopf. An dieser Stelle sind meine Aufzeichnungen evtl nicht korrekt, da viel gewischt und neu geschrieben wurde...
Einen Zusammenhang erkenne ich aber auch nicht.

Potenzgesetze sind mir soweit vertraut.

Zitat:

Original von magic_hero
Wenn man $\begin{eqnarray*} x^{-n} \end{eqnarray*}$ ausklammert, muss man das natürlich wieder ausgleichen, man kann also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-n}^{n} x^{k} = x^{-n} \sum\limits_{k=-n}^{n} x^{k+n} \end{eqnarray*}$ schreiben. Damit ist der erste Summand der Summe $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ und der letzte eben $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ .

Das ist der springende Punkt, ich verneige mich in tiefster Dankbarkeit

Vielen Dank an euch beide, jetzt ist schon wieder alles klarsoweit Freude

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