Mengen und Abbildungen

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Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen und Abbildungen
Meine Frage:
Hi,
ich bin neuer Mathestudent und hab arge Probleme mit den Hausaufgaben. Ich sitze jetzt seit längerem an meinen Übungsblättern, wobei ich manche Aufgaben lösen konnte (hoffe ich zumindest) und bei manchen einfach nicht weiter komme. Man muss dazu sagen das ich leider keine berauschenden Mathevorkenntnisse aus Abi mitbringe, weil mein Mathelehrer den Stoff wirklich! nur aufs aller Nötigste beschränkte... Es wäre nett, wenn man mir ein paar Ansätze geben könnte <3 (wirklich nur Ansätze, wenn ich net selber drauf komme bringts mir ja Nichts)

Meine Ideen:
2. f: X-->Y, g:Y-->Z
a) f und g Injektiv, so auch gof
x1=x2 --> f(x1)=f(x2) --> g(f(x1))=g(f(x2)) --> gof(x1)=gof(x2)
Wäre nett mir zu sagen ob das so ungefähr stimmt
b) -"- surjektiv -"-
f(x)=y und g(y)=z --> g(f(x))=z --> gof(x)=z
c) f und gof bijektiv, so auch g
hier hab ich wirklich 0 Plan wie ich das beweise, hab nur die
das Urbild irgendwie zu verwenden (hab aber nicht verstanden was
das überhaupt ist/aussagt -.-

3. M,N sind Mengen, f:M-->N eine Abb. und A,BcM sowie C,DcN, Zeigen sie:
Probleme im Grunde a) bis e) aber ich schreib mal meine Idee nur zur
a) auf
a) AcB, dann folgt f(A)cf(B)

Idee: A <=> (xeM ohne CMA=(xeM, x!eA))
B <=> "das selbe nur mit B"
f(A) <=> (yeN , es existiert ein xeM: f(x)=y)
f(B) <=> "siehe B"
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen und Abbildungen
Lohnt nicht, sich mit mehreren Aufgaben auf einmal zu beschäftigen. Immer schön der Reihe nach:

Zitat:
Original von Felix1109
a) f und g Injektiv, so auch gof
x1=x2 --> f(x1)=f(x2) --> g(f(x1))=g(f(x2)) --> gof(x1)=gof(x2)

Leider daneben. Wenn x1=x2 ist, dann ist logischerweise auch f(x1)=f(x2), sonst wäre f keine wohldefinierte Abbildung. Und mit injektiv hat das schon mal gar nichts zu tun. Folgern musst du andersrum. Du weißt zwei Sachen:





So ist Injektivität definiert. Und f und g sollen ja nach Voraussetzung injektiv sein.

Daraus folgern musst du nun:



Wir nehmen also an, dass gilt:



Weise nun nach, dass dann schon gelten muss. Dabei musst du verwenden, dass und injektiv sind.

Rest morgen oder es darf auch gerne jemand anderes übernehmen, ich muss gleich noch auf Achse. Wink

Ein Tipp noch: Die Lösung ist extrem einfach. Also nicht über den Gedankengang stolpern "so einfach kann es doch nicht sein" Augenzwinkern Im Grunde steht schon alles da. Man muss es nur richtig ordnen.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen und Abbildungen
Erstmal danke für die Antwort! Gott Gott Gott Gott Gott

g(f(x1))=g(f(x2)) => f(x1)=f(x2) (da g auch Injektiv ist!?) => x1=x2 (da f auch Injektiv ist!?)

Btw: Nur mal so ne Frage am Rande. Is das normal das ich mir zu Beginn des Studiums so dumm vorkomme? Ich habe Probleme den ganzen Stoff/HAs nur ansatzweiße zu verstehen, während es mir so vorkommt als ob alle meine mit Studenten das alles schon können

Ich geb mir ja größte Mühe das auf die Reihe zu bekommen, aber mehr als meine ganze Freizeit zu opfern um die Vorlesungen/Übungsblätter nachzuarbeiten kann ich auch net... unglücklich
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen und Abbildungen
Was die b) angeht:

Zitat:
f(x)=y und g(y)=z --> g(f(x))=z --> gof(x)=z

Sowas geht natürlich gar nicht. Gewöhn dir ruhig an, ein bisschen Text zu schreiben. Du musst deine Beweise so ausformulieren, dass der geneigte Leser auch versteht, was du da eigentlich machst. Das gilt auch für a), es ist nicht nötig, alles in eine Zeile nur mit Formeln zu packen. Schreib ruhig ein bisschen erklärenden Text, das wird dir niemand negativ auslegen.

Gleiche Vorgehensweise: Erstmal ausformulieren, was wir eigentlich wissen.

und sind surjektiv. Heißt:





Nun wollen wir zeigen, dass surjektiv ist. Zu zeigen ist also:

Sei also beliebig gewählt.

-> Und jetzt ran an die Buletten. Hier beginnt der eigentliche Beweis. Nutze zunächst, dass surjektiv ist. Und danach, dass auch surjektiv ist. Die Aufgabe ist vergleichbar einfach wie a).

Was deine anderen Probleme anbelangt: Nunja, ich will jetzt nicht Seelsorge spielen. Augenzwinkern Alleine bist du damit sicherlich nicht, am Anfang tun sich viele schwer, erstmal in diese ganz andere Arbeitsweise an der Uni reinzukommen. Ich empfehle immer: Lerngruppen. Am besten lernt man, indem man sich mit anderen austauscht.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann nochmal zur a)
Wir haben zu beweisen das g(f(x1))=g(f(x2)) => x1=x2 mit x1,x2eX
Da vorgegeben ist das g Injektiv ist folgt aus g(f(x1))=g(f(x2)) => f(x1)=f(x2)
Da auch f Injektiv ist folgt aus f(x1)=f(x2) = x1=x2

zur b)
Wir müssen beweisen das g(f(x))=z mit zeZ
Da vorgegeben ist das g surjektiv ist, gibt es ein yeY für alle zeZ, g(y)=z
Da vorgegeben ist das f surjektiv ist, gibt es ein xeX für alle yeY, f(x)=y
Damit gilt g(f(x))=g(y)=z, wobei für alle xeX ein zeZ existiert
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109
Wir müssen beweisen das g(f(x))=z mit zeZ

Nein, das ist nicht das, was wir beweisen müssen. Mag sein, dass du das richtige meintest, aber man muss auch in der Lage sein, das richtig auszuformulieren.

Zitat:
Original von Felix1109
Da vorgegeben ist das g surjektiv ist, gibt es ein yeY für alle zeZ, g(y)=z

Das ist die Definition von Surjektivitä, ja. Aber wo fließt die nun ein?

Wir wählen uns doch zu Beginn ein beliebiges, aber dennoch eben festes . Damit wir das jetzt nicht mit den Buchstaben, die in der Definition verwendet werden, durcheinander werfen, nennen wir es vllt sicherheitshalber mal anders. Offenbar bereitet dir Schwierigkeiten, das auseinander zu halten. Also: Wir wählen uns ein beliebiges und wollen zeigen: . Denn dann ist surjektiv. Denn wir haben sonst ja keine weiteren Bedingungen an geknüpft.

Da nach Voraussetzung surjektiv ist, gibt es auf jeden Fall ein , sodass ist. Denn es gibt ja für alle ein passendes , sodass ist. Also gibt es eben auch ein passendes für unser spezielles, beliebig gewähltes , sodass ist.

Zweiter Schritt?
(ich denke, das bekommst du jetzt hin, von der Idee her warst du ja vermutlich auf dem richtigen Weg)
 
 
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Zweiter Schritt?

Da f ebenfalls als surjektiv vorrausgesetzt wird, gibt es ein passendes x1eX für ein passendes y1eY. f(x1)=y1. Setzt man das nun in g(y1)=z1 ein, erhält man
g(y1)=g(f(x1))=z1...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Jo.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist mein neuer Mathe-Gott! Gott
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du noch nen Ansatz wie ich Bijektivität beweißen kann? Bijektiv heißt ja surjektiv und Injektiv, aber ich kann ja nicht einfach beide Beweiße ineinander schreiben...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen und Abbildungen
Wie, "ineinander schreiben"? Mach's doch in zwei getretten Schritten.

Probier mal rum, das ist nicht großartig anders als die anderen Aufgaben. Da kann ich kaum Tipps geben, die Herangehensweise ist nahezu identisch.

Generell weist man Bijektivität nach, indem man Injektivität und Surjektivität nachweist.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen und Abbildungen
Ok, danke. Ich werde mal ein bissl zur Bijektivität grübeln. Könnte inzwischen irgend jemand bitte ein kurzes Feedback zu dieser Aufgabe geben?

M,N sind Mengen, f:M-->N eine Abb. und A,BcM sowie C,DcN
a) gilt AcB, dann folgt f(A)cf(B)

Meine Idee:
A<=>(für alle xeA:xeB)
B<=>(für alle xeB:xeM)
f(A)<=>(f(a) I aeA)cB
f(B)<=>(f(b) I beB)cM

b)ist CcD so gilt f^-1(C)cf^-1(D)

C und D wie oben
f^-1(C) <=> (xeD : f(x)eC)cD
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen und Abbildungen
Bijektivität:
Zu zeigen ist das g(y1)=z1=g(y2) wenn f und gof bijektiv sind.

Da gegeben ist das gof bijektiv ist, wissen wir das für ein beliebiges z1eZ ein x1eX, wobei x1=x2, existiert. g(f(x1))=z1=g(f(x2))

Da ebenfalls vorgegeben ist das f bijektiv ist, wissen wir das für ein x1eX ein passendes y1eY existiert. f(x1)=y1=f(x2).

Führt man nun von gof auf g zurück, erhält man g(y1)=z1=g(y2). Somit ist g bijektiv...?
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