Modifizierte logistische Differentialgleichung lösen

21.10.2016, 18:01	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Modifizierte logistische Differentialgleichung lösen Hallo! Ich soll folgende Differentialgleichung lösen und bräuchte einen Tipp, wie ich das angehen soll. Es handelt sich um eine modifizierte Version der logistischen Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} y'(t)=y(1-y)-h \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ konstant. Zur Bestimmung des Anfangwertproblemes ist noch $\begin{eqnarray} y(0)=1/2 \end{eqnarray}$ gegeben. Trennung der Variablen hilft mir hier aufgrund des konstanten Summanden h nicht weiter.
21.10.2016, 19:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modifizierte logistische Differentialgleichung lösen Solange $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ konstant ist, funktioniert Trennung der Variablen, indem du einfach durch die ganze rechte Seite teilst.
21.10.2016, 23:46	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt, hab's jetzt lösen können. Mit Substitution und Arctan
21.10.2016, 23:57	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Allerdings geht das nur, wenn $\begin{eqnarray} h > 1/4 \end{eqnarray}$ , ansonsten wir der Ausdruck unter der Wurzel negativ und wir befinden uns in den komplexen Zahlen. Hast du eine Idee wie das für $\begin{eqnarray} h < 1/4 \end{eqnarray}$ aussieht?
22.10.2016, 11:30	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach quadratischer Ergänzung und Substitution erhältst du ein Integral der Form $\begin{eqnarray} \int \frac {dt}{t^2 \pm a^2} \end{eqnarray}$ Das Vorzeichen im Nenner hängt von dem Vorzeichen von $\begin{eqnarray} h-1/4 \end{eqnarray}$ ab. Je nach Vorzeichen bekommt man den $\begin{eqnarray} \arctan \end{eqnarray}$ oder den $\begin{eqnarray} \operatorname {Artanh} \end{eqnarray}$ . Der Letztere lässt sich auch als Logarithmus schreiben.

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