Wahrscheinlichkeit, dass aus 4 Mänteln keiner seinen richtigen bekommt

22.10.2016, 15:51

Laurentius_Krab

Wahrscheinlichkeit, dass aus 4 Mänteln keiner seinen richtigen bekommt

Hi!

Folgende Aufgabe:

Vier Personen gehen ins Theater. Nach der Vorstellung geben Sie Ihre Garderobenmarken zufallig vertauscht an der Garderobe ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafur, dass keine der vier Personen ihren eigenen Mantel erhalt?

Wir hatten hier viele Ansätze, aber es kommt keine schöne Rechnung zustande.

Klar ist: Gesamtanzahl der Möglichkeiten ist 4! = 24, weil wir hier einen Fall mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen.

Tatsächlich haben wir sogar alle Möglichkeiten aufgeschrieben und sind darauf gekommen, dass es 15 Möglichkeiten gibt, dass mindestens eine Person einen Mantel erhält. Aber wie beweist man das rechnerisch?

Wir hatten verschiedene Ansätze probiert, dies mit dem Binomialkoeffizienten zu berechnen. Aber so richtig erklären konnte es leider niemand.

Danke schon mal im Voraus!

22.10.2016, 16:21

Dopap

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man muss nicht immer Alles mit Kombinatorik angehen.

Sei $\begin{eqnarray*} T_i = 1 \end{eqnarray*}$ falls Person # i ihren Mantel kriegt, 0 sonst und $\begin{eqnarray*} T \text{ die Summe der} T_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(T\geq 1)= 1-p(T=0) \end{eqnarray*}$

dann entsteht nur ein Pfad im Ereignisbaum:

$\begin{eqnarray*} p(T\geq 1)= 1-p(T=0)= 1-\frac {23}{24 } \frac {22}{23 }\frac {21}{22 } \frac {20}{21 }=1- \frac {1}{24 } \frac {1}{1}\frac {1}{1 } \frac {20}{1 }=\frac{4}{24} \end{eqnarray*}$

EDIT: sorry, Das ist die Wkt, dass wenigstens Einer zufrieden heimfährt.

22.10.2016, 17:50

Laurentius_Krab

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Zitat:

Original von Dopap
man muss nicht immer Alles mit Kombinatorik angehen.

Sei $\begin{eqnarray*} T_i = 1 \end{eqnarray*}$ falls Person # i ihren Mantel kriegt, 0 sonst und $\begin{eqnarray*} T \text{ die Summe der} T_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(T\geq 1)= 1-p(T=0) \end{eqnarray*}$

dann entsteht nur ein Pfad im Ereignisbaum:

$\begin{eqnarray*} p(T\geq 1)= 1-p(T=0)= 1-\frac {23}{24 } \frac {22}{23 }\frac {21}{22 } \frac {20}{21 }=1- \frac {1}{24 } \frac {1}{1}\frac {1}{1 } \frac {20}{1 }=\frac{4}{24} \end{eqnarray*}$

EDIT: sorry, Das ist die Wkt, dass wenigstens Einer zufrieden heimfährt.

Danke für deine Antwort, ist aber auch nicht ganz korrekt, weil es pro Person, die ihren richtigen Mantel bekommt 2 Kombinationen gibt, bei denen sich die anderen falsch aufteilen, ergo gibt es insgesamt 8 Möglichkeiten dafür insgesamt.

OK in deiner Rechnung nimmst du die Gegenwahrscheinlichkeit.

Um dann vier Fehlgriffe im Pfad zu beschreiben, müsste man dann nicht sagen:

$\begin{eqnarray*} = 1 - \frac{20}{24} * \frac{19}{23} * \frac{18}{22} * \frac{17}{21} \approx 0,544 \end{eqnarray*}$

=> 54,4 %

? smile

22.10.2016, 17:58

Laurentius_Krab

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kommt aber auch nicht hin mit der Wahrscheinlichkeit

22.10.2016, 18:45

Dopap

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ja, dann beschreibe mal die Vollständige Durchführung der Ziehung.

~~Hinterher mit Irgendwas rüberkommen ist nicht die feine Art.~~

Mein Modell bisher: 1-24 nummerierte Kugeln ohne Zurücklegen blind von 1-4 nummerierten Personen ziehen lassen.

22.10.2016, 18:54

Huggy

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Das Problem ist schon so oft hier im Board behandelt worden (Stichpunkte z. B fixpunktfreie Permutationen oder wichteln), dass einem die Boardsuche fast zu viele Treffer liefert. Deshalb in aller Kürze:

Man habe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Objekte, deren Reihenfolge permutiert werden kann. Es sei $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ die Menge der Permutationen, bei denen das Objekt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ noch auf seiner ursprünglichen Position ist. Dann ist

$\begin{eqnarray*} M= \bigcup_{k=1}^n A_k \end{eqnarray*}$

die Menge der Permutationen, bei denen mindestens ein Objekt noch auf seinem ursprünglichen Platz ist. Nach der Siebformel ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} |M|=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \binom n k (n-k)! \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ ergibt das die schon genannten 15 Permutationen.

@Dopap
Hat das Gedächtnis stark gelitten? Siehe

Wichtelproblem

22.10.2016, 19:10

Dopap

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mmh, wie komm'' ich nur auf 24 Mäntel in der Garderobe? unglücklich

26.01.2017, 00:41

forbin

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Hoffe es ist ok, wenn ich diesen Thread nochmal ausgrabe, die Suche hat ihn mir gezeigt smile

An der Aufgabe habe ich mich nun folgendermaßen begeben:

Sei $\begin{eqnarray*} P(A_{i}) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass Person $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ den richtigen Mantel erhält.
Wenn ich nun berechnen möchte, dass keiner den richtigen erhält, gehe ich über die Gegenwahrscheinlichkeit: Mindestens einer erhält den richtigen.
Nennen wir dieses Ereignis B.
Dazu würde ich dann bilden:
$\begin{eqnarray*} P(B) = 1 - P(\bigcup\limits_{i=1}^{4}A_{i}) \end{eqnarray*}$
Das habe ich mittels Siebformel so aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} P(\bigcup\limits_{i=1}^{4}A_{i}) = P(A_{1}) + P(A_{2}) + P(A_{3}) + P(A_{4}) - P(A_{1}\cap A_{2}) - P(A_{1}\cap A_{3}) - P(A_{1}\cap A_{4}) - P(A_{2}\cap A_{3}) \\ - P(A_{2}\cap A_{4}) - P(A_{3}\cap A_{4}) + P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}) + P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4}) + P(A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4}) + P(A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}) - P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich mir folgendes gedacht:
$\begin{eqnarray*} P(A_{i}) = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A_{i}\cap A_{j}) = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}) = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\cap A_{l}) = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Insgesamt komme ich dann auf:
$\begin{eqnarray*} P(B) = 1 - \frac{15}{24} = \frac{11}{24} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand dazu eine Rückmeldung geben?

26.01.2017, 09:04

Huggy

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Zitat:

Original von forbin

$\begin{eqnarray*} P(B) = 1 - \frac{15}{24} = \frac{11}{24} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand dazu eine Rückmeldung geben?

Diesen Teil der Rechnung versehe ich mit ???.
Ansonsten kannst du doch selbst sehen, dass deine Rechnung zu meiner allgemeinen Formel passt.

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