Integral Einheitskreis, Kreisvolumen

22.10.2016, 18:20	qwsdsadas	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Einheitskreis, Kreisvolumen Meine Frage: Ich soll das Integral folgender Funktion bilden, jedoch komme ich nicht drauf wie man mithilfe des Einheitskreises die Kreisfläche berechnet. ?Kreisfläche(r=1)1dxdy ?Kugelvolumen(r=1)1dxdydz Meine Ideen: mithilfe des Einheitskreises/-kugel jedoch komme ich auf die funktion hin
22.10.2016, 20:37	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Zur Kreisflächenberechnung: Kreisflächen lassen sich meistens hervorragend über Integration mit Polarkoordinaten berechnen. Als Beispiel zeige ich dir mal, wie man 1/4 der Fläche des Einheitskreises (Radius 1) berechnen würde (den Teil im ersten Quadranten): $\begin{eqnarray} \int_{\varphi = 0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{1} 1 rdr d\varphi \end{eqnarray}$ Du kannst dir das ganze wie eine Uhr vorstellen (mit nur einem Zeiger). Der Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ gibt an, wie weit der Zeiger im Kreis läuft. r gibt an, wie lang er ist. Natürlich kannst du diese Fläche jetzt einfach mit 4 multiplizieren aber überlege dir vielleicht mal, wie du mit dem Integral die komplette Fläche berechnen könntest. Zur Kugelvolumenberechnung: Hier bieten sich Kugelkoordinaten an. Die Uhr liegt jetzt auf dem Boden und du bekommst einen weiteren Winkel dazu. vorweg: $\begin{eqnarray} dxdydz \end{eqnarray}$ wird zu $\begin{eqnarray} r^{2}\cdot sin\theta drd\theta d\varphi \end{eqnarray}$ Das Volumen des Einheitskreises (Radius 1) berechnet man also mit dem Integral; $\begin{eqnarray} \int_{\varphi=0}^{2 \pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{1} 1 r^{2}\cdot sin\theta drd\theta d\varphi \end{eqnarray}$

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