Homömorphismus hausdorff stetig bijektiv

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DerRobert Auf diesen Beitrag antworten »
Homömorphismus hausdorff stetig bijektiv
Meine Frage:
Aufgabe:
Es sei ein kompakter topologischer Raum. ein hausdorffscher topologischer Raum und f: X Y sei stetig und bijektiv. Zeige, dass dann f ein Homöomorphismus ist.

Meine Ideen:
Idee:
X ist kompakt, womit f(X) aufgrund der stetigkeit von f kompakt ist
f(X) Y ist Hausdorff-Raum

weiter schaff ich es derzeit nicht Hammer
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard!

Dass ein Hausdorffraum ist, hat nichts mit der Kompaktheit zu tun. Jeder Teilraum eines Hausdorffraumes ist wieder ein Hausdorffraum. Aber das nur nebenbei.

Du musst die Stetigkeit von zeigen. Das kannst du machen, indem du zeigst, dass abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbildet.

Du nimmst also eine abgeschlossene Menge . Was kannst du dann noch über aussagen mithilfe der Kompaktheit von ?
DerRobert Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste abgeschlossen sein, da aufgrund der Stetigkeit gilt: wobei A abgeschlossen ist

Richtig so? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Teilmenge von . Der Ausdruck macht also gar keinen Sinn.

Außerdem hat (mit !) nichts mit Stetigkeit oder Abgeschlossenheit zu tun, sondern nur mit der Bijektivität von .


Also: Wir haben eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes . Und abgeschlossene Teilmengen eines kompakten Raumes sind selbst kompakt.

Was weißt du jetzt über ? (In deinem ersten Beitrag steht eigentlich schon die Antwort.)

Und dann musst du zeigen, dass abgeschlossen ist. Schau mal in deinen Unterlagen, ob du einen Satz findest, der dir da weiterhilft.
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