Integration mittels geometrischer Reihe

24.10.2016, 18:44

yellowman

Integration mittels geometrischer Reihe

Hallo, ich soll zeigen das folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\frac{x^3}{\exp(x)-1}dx=\frac{\pi^4}{15} \end{eqnarray*}$

Als Tipp wurde uns gegeben das wir den Integranden mittels einer geometrischen Reihe umschreiben sollen und anschließend Integral und Summe vertauschen können nach Beppo Levi.

Für die geometrische Reihe gilt erstmal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k \end{eqnarray*}$

Ich habe erstmal mit $\begin{eqnarray*} \exp(-x) \end{eqnarray*}$ erweitert so dass es schonmal so ähnlich ausschaut.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\frac{x^3}{\exp(x)-1}dx=\int_0^{\infty}\frac{x^3\exp(-x)}{1-\exp(-x)}dx \end{eqnarray*}$

Hat jemand einen Tipp für mich wie ich nun an die geometrische Reihe komme?

Vielen Dank!

24.10.2016, 21:00

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^3\exp(-x)}{1-\exp(-x)}=x^3\exp(-x)\cdot \frac{1}{1-\exp(-x)} \end{eqnarray*}$

Den hinteren Faktor schreibst du jetzt als geometrische Reihe.

24.10.2016, 21:15

Matt Eagle

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RE: Integration mittels Geometrischer Reihe

Zitat:

Original von yellowman
...

Ich habe erstmal mit $\begin{eqnarray*} \exp(-x) \end{eqnarray*}$ erweitert so dass es schonmal so ähnlich ausschaut.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\frac{x^3}{\exp(x)-1}dx=\int_0^{\infty}\frac{x^3\exp(-x)}{1-\exp(-x)}dx \end{eqnarray*}$

Hat jemand einen Tipp für mich wie ich nun an die geometrische Reihe komme?

Entwickle $\begin{eqnarray*} \frac 1{1-\exp(-x)} \end{eqnarray*}$ in eine geom. Reihe.

Das führt dann über das auszuwertende Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty x^3\exp(-nx)~\dd x \end{eqnarray*}$

zur Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac 6{n^4}. \end{eqnarray*}$

24.10.2016, 22:19

yellowman

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Hallo, jetzt habe ich schonmal gesehen wie ich weiter zu machen habe.
Mittels partieller Integration kommt man schlussendlich zu der Reihe $\begin{eqnarray*} 6\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss allerdings noch die Reihe berechnet werden. Hat dazu auch jemand einen Tipp?

Vielen Dank!

25.10.2016, 10:31

10001000Nick1

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Den Wert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} \end{eqnarray*}$ kannst du z.B. mittels Fourierreihen bestimmen:

Entwickle die Funktion $\begin{eqnarray*} f: [0,2\pi]\to\mathbb R, x\mapsto \frac{(x-\pi)^2}{4} \end{eqnarray*}$ in eine Fourierreihe und benutze dann die Parsevalsche Gleichung.

25.10.2016, 22:48

yellowman

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Ich habe jetzt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in (-\pi,\pi) \end{eqnarray*}$ in eine Fourier Reihe entwickelt.

Ich erhalte die Koeffizienten
$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{\pi^4}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2\cos(k\pi)}{k^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_k=0 \end{eqnarray*}$

Mittels parsevalschen Theorem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx=\frac{1}{2}a_0^2+\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2+b_k^2 \end{eqnarray*}$
dachte ich das brauche ich nur noch einsetzen. Allerdings komme ich wenn ich dies einsetze und umforme nicht auf das gewünschte Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi^4}{5}=\frac{1}{2}\frac{\pi^8}{9}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^4} \end{eqnarray*}$

Da passt doch etwas nicht ... Ich bin schon länger am grübeln ob die Darstellung der parsevalschen Gleichung so korrekt ist. Durch googlen und nachschlagen in diverser Literatur ist mir aufgefallen das es viele verschiedene Darstellungen der parsevalschen Gleichung gibt. Die Frage die sich mir nun stellt, kann ich die Darstellung in dem Fall benutzen und falls nein, welche dann?

Vielen Dank!

26.10.2016, 00:22

10001000Nick1

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Für $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi^2}{3} \end{eqnarray*}$ raus, bei den restlichen $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ komme ich auf das doppelte deines Ergebnisses.

Und bei der Parsevalschen Gleichung muss vor dem Integral der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ stehen, nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$ .

(Wahrscheinlich hast du auch bei den $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ den falschen Faktor vor dem Integral stehen gehabt.)

Damit kommst du dann auch auf den richtigen Reihenwert.

26.10.2016, 18:48

yellowman

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Danke schonmal ich komme jetzt auf $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90} \end{eqnarray*}$ was laut wolframalpha auch korrekt ist.

Damit haben sich auch meine Fragen erledigt.

Vielen Dank für deine Hilfe und bis zum nächsten mal. smile

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