Umformen mit Wurzeln (Grenzwertsuche)

24.10.2016, 21:27

der_unkluge

Umformen mit Wurzeln (Grenzwertsuche)

Hello,

eine ganz konkrete Frage,
angenommen ich bei der Grenzwertbestimmung durch diverse Umformungen, soweit gekommen dass das nun dasteht:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+3n+1}+\sqrt{n^{2}+2n}} \end{eqnarray*}$

dann kann ich das ja wie folgt umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}} \end{eqnarray*}$

Meine erste Frage dazu wäre:
Warum multiplitziere ich im Nenner jeden einzelnen Ausdruck mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ im Zähler aber nur mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?
Liegt das an der Quadratwurzel?

Frage zwei zu diesem Thema:

Was wäre wenn der höchste exponent in der Quadratwurzel nicht 2 sondern 3 wäre?
Könnte ich dann das selbe spielchen nur mit n hoch 3 machen? Wenn ja womit würde ich es dann im Zähler multiplizieren? Mit n hoch 2?

Hoffe es kann mir jemand auf die Sprünge helfen.

24.10.2016, 21:45

der_unkluge

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Ergänzung:

Okay, wenn der höchste Exponent 3 wäre, würde ich es mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2/3}} \end{eqnarray*}$
multiplizieren oder?

Aber zur ursprungsfrage: Ich multipliziere im Zähler nur mit 1/n weil es eben nicht in einer wurzel steht oder?

24.10.2016, 21:50

willyengland

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Ja.

24.10.2016, 21:51

der_unkluge

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Okay danke.
Ich wollte mir die Bestätigung holen, da ich eben nicht sicher war, ob das wirklich der Grund ist.

Thx!

24.10.2016, 22:39

Mathema

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Zitat:

Warum multiplitziere ich im Nenner jeden einzelnen Ausdruck mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ im Zähler aber nur mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist natürlich Blödsinn - du kannst doch nicht einfach den Zähler und Nenner mit einer unterschiedlichen Zahl multiplizieren, ohne das der Bruch den Wert ändert. Ich würde mir das eher als ausklammern und kürzen vorstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+3n+1}+\sqrt{n^{2}+2n}}=\frac{n(1+\frac{1}{n})}{\sqrt{n^2(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}})}+\sqrt{n^2(1+\frac{2}{n})}}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n(1+\frac{1}{n})}{\sqrt{n^2} \sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{n^2} \sqrt{1+\frac{2}{n}}}=\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n \sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+n\sqrt{1+\frac{2}{n}}}=\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n( \sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}})} \end{eqnarray*}$

Und nun wird der Faktor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gekürzt.

Und wenn du doch erweitern willst, dann wird der Bruch (also Zähler und Nenner) mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ erweitert:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+3n+1}+\sqrt{n^{2}+2n}}=\frac{\frac{1}{n}(n+1)}{\frac{1}{n}(\sqrt{n^{2}+3n+1}+\sqrt{n^{2}+2n})}=\frac{\frac{1}{n}(n+1)}{\sqrt{\frac{1}{n^2}}(\sqrt{n^{2}+3n+1}+\sqrt{n^{2}+2n})}=... \end{eqnarray*}$

25.10.2016, 07:48

willyengland

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Was er damit meinte war (so habe ich das jedenfalls verstanden), dass er mit 1/n erweitert, was unter der Wurzel dann zu 1/n^2 wird.

25.10.2016, 22:13

sockenschuss

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Zitat:

Warum multiplitziere ich im Nenner jeden einzelnen Ausdruck mit

Dier Ausdrucksweise irritiert. Die einzelnen Ausdrücke des Nenners sind, top-down, für mich die beiden Quadratwurzeln. Für Mathema vielleicht auch.

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