Summe mit Binomialkoeffizient

24.10.2016, 23:01	tender27	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe mit Binomialkoeffizient Hallo! Ich bräuchte einen Hinweis für den Beweis folgender Behauptung: $\begin{align} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1} \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1} \end{align}$ Wäre sehr dankbar für einen Hinweis!
24.10.2016, 23:23	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du könntest folgendes zeigen (und anschließend nutzen): $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} }{k+1}=\begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gute Nacht.
24.10.2016, 23:37	tender27	Auf diesen Beitrag antworten »
aaah super, vielen Dank!
27.10.2016, 02:47	ape123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich habe die gleiche Aufgabe zu lösen (wär lustig, wenn wir im gleichen Kurs sitzen haha), kriege den Beweis aber auch mit dem Hinweis nicht hin... So weit komme ich: $\begin{align} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1} \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n \frac{(n+1)\cdot (-1)^k}{k+1} \binom{n}{k} = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k+1} = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^{k+1} \binom{n+1}{k+1} + \frac{1}{n+1}(-1)^{n+2}\binom{n+1}{n+2} =\frac{1}{n+1}(-1)^{n+2} \end{align}$ Das letzte Gleichzeichen gilt wegen dem Binomischen Lehrsatz, die erste Summe davor ist nach der Indexkorrektur 0. Allerdings stimmt das Ergebnis ja offensichtlich nicht... Könnte mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
27.10.2016, 06:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum führst du beim letzten Summenzeichen die Summe bis zum Index $\begin{align} n+1 \end{align}$ ? Der Binomialkoeffizient für diesen Index existiert nicht (oder ist nach einer anderen Konvention 0). Richtig wäre $\begin{align} - \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^{k+1} {{n+1} \choose {k+1}} \end{align}$ nach Indexverschiebung: $\begin{align} = - \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^k {{n+1} \choose k} \end{align}$ Und jetzt laß die Summe von $\begin{align} k=0 \end{align}$ aus laufen und füge einen entsprechenden Korrektursummanden ein.
27.10.2016, 07:38	ape123	Auf diesen Beitrag antworten »
danke!! so klappts (:
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