Gegenteil mathematische Aussage

25.10.2016, 16:08

jalapemos

Gegenteil mathematische Aussage

Meine Frage:
Ich möchten das Gegenteil dieser Aussage formulieren . $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \delta > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x \in R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall y \in R \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (|x-y| < \delta \Rightarrow |x^2 - y^2| < \epsilon) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Meine Idee ist :
$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon \leq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \delta \leq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists x \in R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists y \in R \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (|x-y| \geq \delta \Rightarrow |x^2 - y^2| \geq \epsilon) \end{eqnarray*}$

25.10.2016, 17:31

Dopap

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RE: Gegenteil mathematische Aussage

Zitat:

Original von jalapemos
Meine Frage:
Ich möchten das Gegenteil dieser Aussage formulieren . $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \delta > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x \in R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall y \in R \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (|x-y| < \delta \Rightarrow |x^2 - y^2| < \epsilon) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lnot\bigg(\mathop{\bigwedge}\limits _{\epsilon >0}\,\mathop{\bigvee}\limits _{\delta >0}\,\mathop{\bigwedge}\limits_{x\in R}\,\mathop{\bigwedge}\limits _{y\in R}|x-y| < \delta \Rightarrow |x^2 - y^2| < \epsilon\bigg)<br /> <br /> \Leftrightarrow <br /> <br /> \mathop{\bigvee}\limits _{\epsilon >0}\,\mathop{\bigwedge}\limits _{\delta >0}\,\mathop{\bigvee}\limits_{x\in R}\,\mathop{\bigvee}\limits _{y\in R}|x-y| < \delta \land |x^2 - y^2| \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

25.10.2016, 17:41

Leopold

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jalapemos' Hauptfehler bestand im Negieren der Bereiche, über die die Variablen laufen. Wie man bei Dopap schön sieht, geht man bei den Bereichen nicht zum Komplement über. Vielleicht noch ein Hinweis zur Schreibweise:

$\begin{align*} \bigwedge = \forall \, , \ \ \bigvee = \exists \end{align*}$

25.10.2016, 17:45

Nofey

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Noch ein weiterer Hinweis: wenn man herleiten möchte, wie man auf die Negation der Implikation kommt, so muss man sich nur vor Augen führen, dass $\begin{align*} A\Rightarrow B \end{align*}$ das gleiche ist wie $\begin{align*} \lnot A\lor B \end{align*}$ .

@Dopap: Findest du es förderlich, einen (offfensichtlichen) Anfänger in dem Gebiet gleich mit Notation zu erschlagen, die er höchstwahrscheinlich noch nie gesehen hat und diese nicht mal zu erklären?

25.10.2016, 18:00

Dopap

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die Symbole sind selbsterklärend, die Mengen sind aus dem direkten Schuss.
Auf jeden Fall lesbarer wie das einzeilige unübersichtliche Zeugs mit verkehrtem A und E.

meine Meinung Augenzwinkern

25.10.2016, 18:14

jalapemos

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Ich bedanke mich für alle antworten. Das war sehr hilfreich. kann mir jemand noch helfen bei der Veranschaulichung des Gegenteils?

25.10.2016, 18:19

Dopap

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kann ich leider nicht, da ich die Aussage gar nicht verstanden habe verwirrt

25.10.2016, 18:36

Nofeys

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Die Aussage besagt, dass die Quadratfunktion gleichmäßig stetig auf $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ ist, ihre Negation besagt also, dass die Quadratfunktion nicht gleichmäßig stetig ist.

Anschaulich bedeutet das genau, was bei der Negation eben herauskommt. Vielleicht ein bisschen weniger formal: Du findest irgendeine Schranke $\begin{align*} \epsilon>0 \end{align*}$ , zu der es reelle Zahlen gibt, die beliebig nah beieinander liegen und deren Quadrate sich dennoch nicht näher als $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ kommen werden.

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