Wie lautet die Funktion, Asymptote gegeben

25.10.2016, 16:20

el_physico

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Wie lautet die Funktion, Asymptote gegeben

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich habe das folgende Problem. Es handelt sich dabei um eine Bonus Aufgabe und ich habe echt keinen Plan :/ Würds aber trotzdem gerne verstehen. Pol bei x = 4

y = f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{6x^n -px + 1}{ax-b} \end{eqnarray*}$

Asymptote y = $\begin{eqnarray*} 3x^2 + 12 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss leider das Vorgehen wirklich nicht. Danke für jeden Tipp!

mfg

25.10.2016, 16:25

Steffen Bühler

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RE: Wie lautet die Funktion, Asymptote gegeben
Willkommen im Matheboard!

Für sehr große x schmiegt sich der Graph von f(x) ja an den Graphen der Asymptote.

Nun stell Dir mal sehr große x-Werte für f(x) vor. Was passiert dann?

Viele Grüße
Steffen

26.10.2016, 14:07

el_physico

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RE: Wie lautet die Funktion, Asymptote gegeben
Hallo Steffen

Dann würde sich die Funktion ja der y-Achse annähern oder? Also geht gegen 0
und die Asymptote würde gegen unendlich gehen oder?

LG

26.10.2016, 14:09

Steffen Bühler

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RE: Wie lautet die Funktion, Asymptote gegeben
Nein, die Asymptote ist hier doch y=3x²+12.

Eine Asymptote ist eben nicht unbedingt eine Gerade, sondern kann, wie hier, eben auch eine Parabel sein, an die sich der Funktionsgraph für große x-Werte annähert.

26.10.2016, 14:36

el_physico

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RE: Wie lautet die Funktion, Asymptote gegeben
ok. also wenn x sehr gross ist, entspricht die Funktion also der Asymptote?
Aber wie komme ich denn auf die geforderte Funktion y = f(x) ?

26.10.2016, 14:48

klarsoweit

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RE: Wie lautet die Funktion, Asymptote gegeben
Ich würde so vorgehen: wenn asymp(x) die Funktion für die Asymptote ist, dann muß $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (f(x) - asymp(x)) = 0 \end{eqnarray*}$ sein. Ich würde also für f(x) und asymp(x) die Funktionsterme einsetzen und dann die Parameter so wählen, daß der Grenzwert Null wird. Nebenbei: wegen der Polstelle bei x=4 ergibt sich der Parameter b aus dem Parameter a.

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26.10.2016, 15:54

HAL 9000

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Irgendwas passt an der Aufgabenstellung nicht: Um

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich würde so vorgehen: wenn asymp(x) die Funktion für die Asymptote ist, dann muß $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (f(x) - asymp(x)) = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

zu erfüllen, müssten im Zähler von $\begin{eqnarray*} f(x) - asymp(x) \end{eqnarray*}$ alle Potenzen >1 wegfallen, also nur noch eine Konstante stehen - und das ist für die Kombination aus der angegebenen Polstelle und Asymptote für keine Parameterkombination machbar. Oder habe ich gerade einen Blackout? verwirrt

verwirrt

26.10.2016, 15:59

Steffen Bühler

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RE: Wie lautet die Funktion, Asymptote gegeben

Zitat:

Original von el_physico
Aber wie komme ich denn auf die geforderte Funktion y = f(x) ?

Wenn Du sehr große x in f(x) einsetzt, kannst Du doch die konstanten Werte streichen, da sie im Verhältnis zu den anderen Termen mit x keine Rolle mehr spielen. Siehst Du das?

Und nun kannst Du was kürzen.

26.10.2016, 16:08

klauss

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Zitat:

Original von HAL 9000
Irgendwas passt an der Aufgabenstellung nicht

Diesen Verdacht hatte ich ebenfalls.
Das Praktische an diesem Funktionstyp ist doch, dass man einige Eigenschaften direkt ohne Rechnung mit bloßen Auge ablesen kann. D. h. wenn die Asymptote und der Pol gegeben sind (bei linearem Nenner), kann man eigentlich n, a und b sofort leicht angeben. Bliebe dann noch p zu bestimmen. Hierbei erhalte ich mit Polynomdivision allerdings einen Wert, der keinen schönen Graphen liefert, außerdem müßte die Asymptote dann
$\begin{eqnarray*} 3x^{2} +12x \end{eqnarray*}$
lauten. Kann das sein?

26.10.2016, 16:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
außerdem müßte die Asymptote dann $\begin{eqnarray*} 3x^{2} +12x \end{eqnarray*}$ lauten.

Ist wohl die plausibelste Variante, dass diese Schlamperei des am Ende weggelassenen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hier vorliegt.

26.10.2016, 16:45

willyengland

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Dann wäre p = 96.

26.10.2016, 17:01

willyengland

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Nein? Das wundert mich jetzt.
Ich habe es geplottet und es stimmt perfekt.

EDIT: Häh?

26.10.2016, 17:03

Steffen Bühler

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Ja, sorry, ich hab meinen Beitrag zu spät gelöscht. Macht Ihr ruhig weiter.

26.10.2016, 17:17

willyengland

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Also ich bleibe dann bis zum Beweis des Gegenteils bei p=96. smile

smile

26.10.2016, 17:38

el_physico

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also was muss ich jetzt machen? traurig

traurig

ich hab die angaben nochmal mit der aufgabenstellung überprüft. die funktion und die asymptote stimmen wie oben angegeben.

Fragestellung:
Die Funktion hat einen Pol bei x=4 und besitzt die asymptote y= $\begin{eqnarray*} 3x^2 + 12 \end{eqnarray*}$ . Wie lautet die Funktion y = f(x)

26.10.2016, 18:17

willyengland

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Geh mal davon aus, dass 12 = 12 x ist (Druckfehler).
Dass a=2, n=3 und b=8 ist, sollte klar sein, oder?

26.10.2016, 18:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von el_physico
Die Funktion hat einen Pol bei x=4 und besitzt die asymptote y= $\begin{eqnarray*} 3x^2 + 12 \end{eqnarray*}$ . Wie lautet die Funktion y = f(x)

Wenn du auf diesen Werten bestehst, dann wiederhole ich es nochmal:

Es gibt keine Funktion der Struktur $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{6x^n -px + 1}{ax-b} \end{eqnarray*}$ , die diese beiden Eigenschaften aufweist. D.h., keine Parameterkombination $\begin{align*} (a,b,n,p) \end{align*}$ passt zu diesen Vorgaben. unglücklich

unglücklich

27.10.2016, 11:30

Steffen Bühler

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Der von mir beschriebene übliche Ansatz, den Term $\begin{align*} \frac{6x^n -px + 1}{ax-b} \end{align*}$ für große x zu $\begin{align*} \frac{6x^n -px}{ax} \end{align*}$ werden zu lassen, dann ein x rauszukürzen, um $\begin{align*} \frac{6x^{n-1} -p}a \end{align*}$ zu erhalten, funktioniert hier jedenfalls nicht.

Bei Gleichsetzung $\begin{align*} \frac{6x^{n-1} -p}a=3x^2+12 \end{align*}$ ergibt sich a=2, n=3, p=-24 und über die Polbedingung b=8.

Aber die Differenz $\begin{align*} \left( \frac{6x^3 + 24x + 1}{2x-8} \right) - (3x^2+12) \end{align*}$ divergiert leider für $\begin{align*} x \to \infty \end{align*}$ .

Viele Grüße
Steffen

31.10.2016, 18:25

el_physico

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Ihr hattet recht mit der asymptote.

Wäre dann p=24?

N=3
A=2
B=8

31.10.2016, 18:34

willyengland

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Wie kommst du darauf?

Mach eine Polynomdivision.

=> p = 96

01.11.2016, 08:58

el_physico

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Ok neuer versuch.
Nach der polynomdiv. Komme ich auf 3x^2 + 12x + 48 - p/2 - R

Jetzt setze ich 48- p/2 = 0 -> p=96

Stimmt das so?

01.11.2016, 09:43

willyengland

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Ich weiß nicht genau, wie du das gerechnet hast, aber wenn du drauf kommst, ist es ja gut.
Ich habe so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} +6x^3+0x^2-px+1 : (2x-8) = 3x^2+12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -6x^3+24x^2 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------
-------- $\begin{eqnarray*} +24x^2-px \end{eqnarray*}$
-------- $\begin{eqnarray*} -24x^2+96x \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------
---------------------- $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} -px+96x=0 \end{eqnarray*}$

Zur Kontrolle plotte deine Originalfunktion mit den bestimmten Werten und die Asymptote.

01.11.2016, 12:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von el_physico (26.10.2016 17:38)
ich hab die angaben nochmal mit der aufgabenstellung überprüft. die funktion und die asymptote stimmen wie oben angegeben.

Zitat:

Original von el_physico (31.10.2016 18:25)
Ihr hattet recht mit der asymptote.

Soviel zum Thema Gründlichkeit der Überprüfung. Wenn selbst auf nachdrücklichen Hinweis eine Überprüfung so oberflächlich vorgenommen wird, dann gibts nur eins: Forum Kloppe

Forum Kloppe

01.11.2016, 14:06

el_physico

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Nope du verstehst das falsch.
Ich habe dem typ eine mail geschrieben der die übung erstellt hat. Der hatet die aufgabe falsch geschrieben.
Nicht mein fehler böse

böse

Edit:
Aber danke allen für die hilfe Freude

Freude

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