Logarithmus umformen

26.10.2016, 00:38

Fencer

Logarithmus umformen

Meine Frage:
Hallo zusammen ich würde gerne wissen welche Rechenregel ich anwenden kann wenn ich folgende Gleichung vor mir habe um das umzuformen:
$\begin{eqnarray*} ln(5e^{-2x}-2e^{-0.5})=ln(2.138) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich könnte das wie folgt umformen:
$\begin{eqnarray*} ln(5e^{-2x})=ln(2.138+2e^{-0.5}) \end{eqnarray*}$
und dann:
$\begin{eqnarray*} ln(5)-(2x)=ln(2.138+2e^{-0.5}) \end{eqnarray*}$
Der Rest lässt sich dann einfach auflösen.
Allerdings würde ich gerne wissen welche Rechenregeln bzw Umformungen möglich sind bei dem Term:
$\begin{eqnarray*} ln(5e^{-2x}-2e^{-0.5}) \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe könnte ja auch lauten:
$\begin{eqnarray*} ln(5e^{-2x}-2e^{-x+0.25})=ln(2.138) \end{eqnarray*}$
Da wären dann ein paar Umforumngstips hilfreich.

Besten Dank im Voraus.

26.10.2016, 02:28

Dopap

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kaum eine Funktion kann in eine Summe eindringen. So auch der ln nicht. unglücklich

aber man könnte beide Seiten in den Exponenten von e stellen sofern die Argumente >0 sind.

Dann steht nur noch einmal x im Exponenten von e. Der Rest sind Zahlen.

exp(-2x) isolieren dann ln ...

26.10.2016, 09:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
aber man könnte beide Seiten in den Exponenten von e stellen sofern die Argumente >0 sind.

Diese Bedingung (obgleich hier erfüllt) ist nicht nötig: Wir logarithmieren hier ja nicht, sondern exponentieren. Augenzwinkern

D.h., dieses sofortige Exponentieren führt zur äquivalenten Gleichung $\begin{eqnarray*} 5e^{-2x}-2e^{-0.5}=2.138 \end{eqnarray*}$ .

26.10.2016, 12:14

Dopap

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gut, da war ich etwas vorsichtig. Ich meinte so etwas wie:

$\begin{eqnarray*} ln(x+1)=ln(e-\sqrt 8) \end{eqnarray*}$ (muss aber nicht immer so offensichtlich sein)

wenn man hier mit exp() "kürzt" erhält man eine Scheinlösung.

Aber es gibt ja noch die gute alte Probe. Augenzwinkern

26.10.2016, 14:01

HAL 9000

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Da gebe ich dir recht - ich hatte deine Formulierung im genannten Zitat so verstanden, dass du mit Argumente die Argumente der Exponentierung verstehst, nicht die Argumente des ln: Wenn diese von vorherein negativ sind wie in deinem Beispiel, dann ist ja die Gleichung aber als reelle Gleichung gar nicht definiert. Aber mir ist schon klar, was du meinst, z.B. sowas $\begin{align*} \ln(x) = \ln(2x+1) \end{align*}$ . Augenzwinkern

26.10.2016, 15:05

Dopap

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ich bin halt manchmal etwas pingelig:

$\begin{eqnarray*} <br /> \mathop{\bigwedge} \limits_{x > 0} \exp(\ln(x)) = x<br /> \mathop{\bigwedge} \limits_{x\in \mathbb R} \ln(\exp(x)) = x \end{eqnarray*}$ sind wahre Aussagen.

damit der Thread auch ins SchülerArchiv kann, das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} ln(x)=ln(2x+1) \quad \text{ mit keiner Lösung} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} x=2x+1 \end{eqnarray*}$

mit einer Lösung.

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