Banachräume

26.10.2016, 11:52	Saddath	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachräume Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} d \in \mathbb N, \emptyset \neq U \subseteq \mathbb R^{d} \end{eqnarray}$ eine offene Menge. Wir definieren nun $\begin{eqnarray} C_{0}(U)=\left\{f \in C(U): \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq U : K kompakt, \sup_{x \in U \backslash K} \|f(x)\|< \epsilon \right\} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} C_{C}(U)=\left\{f \in C(U): \exists K \subseteq U : K kompakt, f\|_{U \backslash K}=0 \right\} \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (C_{0}(U),\|\|\cdot \|\|_{\infty}) \end{eqnarray}$ ein Banachraum ist. b) Ist auch $\begin{eqnarray} (C_{C}(U),\|\|\cdot \|\|_{\infty}) \end{eqnarray}$ ein Banachraum? (Begründung) Meine Ideen: Also um zu zeigen, dass es ein Banachraum ist, muss ich doch zeigen, dass es i) ein Vektorraum (Eigenschaften der Addition und Skalarmultiplikation) ii) normiert (positive Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung der Norm) iii) vollständig ist (Konvergenz jeder Cauchy-Folge). Aber wie genau gehe ich hier vor? Mit den Mengen finde ich das schwer. Besonders bei der Vollständigkeit habe ich keinen Ansatz.
26.10.2016, 14:53	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachräume Du brauchst nicht immer bei Adam und Eva anzufangen. $\begin{eqnarray} C(U,\mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ ist als Vektorraum bekannt. Da reicht es, fuer $\begin{eqnarray} C_0(U) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_C(U) \end{eqnarray}$ das Unterraumkriterium nachzurechnen. Dass $\begin{eqnarray} \\|\cdot\\|_\infty \end{eqnarray}$ auf solchen Raeumen eine Norm ist, solange es nur endlich ist, weiss man auch schon. Bleibt nur das zu zeigen. Und fuer die Vollstaendigkeit brauchst Du, dass Konvergenz nach der Supremumsnorm dasselbe ist wie gleichmaessige Konvergenz.

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