Beispiel Faktor & Summenregel unklar

26.10.2016, 12:47

Mathman91

Beispiel Faktor & Summenregel unklar

Hallo,

ich habe folgendes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2-x+1}{2x}\, dx \end{eqnarray*}$

daraus wird laut dem Buch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int x-1+\frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int x^2-x+x^{-1} \, dx \end{eqnarray*}$

Was mache ich Falsch?

MfG

26.10.2016, 13:01

PhyMaLehrer

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Die 2 unter dem Bruchstrich kommt als 1/2 vor das Integral, bleibt also noch das x allein unterm Bruchstrich.

x² / x = x
-x / x = -1
1 / x = 1/x

Du hast offenbar nur die 1 oben rechts auf dem Bruchstrich durch x dividiert. Warum???

27.10.2016, 09:20

Mathman91

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Wenn ich das "1/2" vor das Integral ziehe, dann kann ich doch mit "x^-1" das x von unten nach oben bringen und somit ist der Bruch aufgelöst.
Da muss ich doch durch nichts dividieren, oder?

MfG

27.10.2016, 09:27

Matt Eagle

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Distirbutivgesetz!
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-x+1}{2x}=\frac 1{2x} (x^2-x+1)=\frac 12\left(\frac 1x (x^2-x+1)\right)=\frac 12\left(x-1+\frac 1x\right) \end{eqnarray*}$

27.10.2016, 12:58

PhyMaLehrer

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Zitat:

Original von Mathman91
dann kann ich doch mit "x^-1" das x von unten nach oben bringen und somit ist der Bruch aufgelöst.

NEIN!

Was du gerechnet hast, würde gelten für x² - x + 1/x.

Das x steht aber unter einem großen Bruchstrich, d. h. jedes Glied des Terms im Zähler wird durch x dividiert, nicht nur die 1 am Schluß!

27.10.2016, 16:06

Mathman91

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Also:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^{2}-x+1}{2x} \, dx => \frac{1}{2}*\int x-1+\frac{1}{x} \, dx => \frac{1}{2}*\int x-1+x^{-1} \, dx => \frac{1}{2}*\int x\, dx - \int 1\, dx+\int x^{-1} \, dx => \end{eqnarray*}$

Nun löse ich das Integral auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(\frac{x^{2} }{2}-x+ln(x) )+C \end{eqnarray*}$

So sollte es passen, oder?

MfG

28.10.2016, 06:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\int x\, dx - \int 1\, dx+\int x^{-1} \, dx => \end{eqnarray*}$

Korrekt ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (\int x\, dx - \int 1\, dx+\int x^{-1} \, dx) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist dann ok, wobei die Umformung von 1/x in $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ keinen wirklichen Vorteil bringt.
Und bitte schreibe statt dem Implikationspfeil Gleichheitszeichen zwischen die Integrale. Der Implikationspfeil gehört zwischen Aussagen: wenn Aussage A gilt, dann gilt auch die Aussage B. In Symbolen: A ==> B . Ein Integral ist aber keine Aussage. smile

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