Diagonalargument

26.10.2016, 20:35

Stephan G.

Diagonalargument

Reelle Zahlen sind laut Cantors zweitem Diagonalargument überabzählbar. Aber ich könnte das Diagonalargument auch mit rationalen Zahlen durchspielen und würde darauf kommen dass die rationalen Zahlen überabzählbar sind, denn eine neue rationale Zahl zu konstruieren die nicht in der vorgelegten Liste drin ist, dürfte ja kein Problem sein.

26.10.2016, 21:41

sockenschuss

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RE: Diagonalargument
ich erinnere mich dunkel, das Mengen genau dann abzählbar heissen, wenn es eine Bijektion zwischen der Menge der Natürlichen Zahlen und der betrachteten Menge gibt.
Diese existiert für rationale Zahlen. Mit dem zweiten Diagonalverfahren soll bewiesen werden, das keine Bijektion zwischen \mathbb N und \mathbb R existiert, glaub ich. Es geht nicht einfach darum eine Liste um eine Zahl zu erweitern.

Zitat:

Aber ich könnte das Diagonalargument auch mit rationalen Zahlen durchspielen

Dann mal los, ich bin gespannt!

27.10.2016, 17:24

Stephan G.

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Man nehme (genau wie bei den reellen Zahlen) eine Liste mit rationalen Zahlen im Intervall 0 bis 1. Dann bildet man (auch wieder wie bei den reellen Zahlen) eine neue rationale Diagonalzahl, die nicht in der vorgelegten Liste enthalten war. Schwupps, die rationalen Zahlen sind überabzählbar.

27.10.2016, 22:11

Leopold

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Zitat:

Original von Stephan G.
Dann bildet man (auch wieder wie bei den reellen Zahlen) eine neue rationale Diagonalzahl, die nicht in der vorgelegten Liste enthalten war.

Woher willst du wissen, daß die Diagonalzahl rational ist? Du kannst mit der Diagonalmethode zwar einen Dezimalbruch erzeugen. Aber ist der abbrechend oder periodisch? Das müßtest du ja nachweisen, um zu zeigen, daß die Zahl rational ist. Und ohne diesen Nachweis ist dein Argument nichts wert. Du hast einfach nur eine reelle Zahl erzeugt. Und das war's.

28.10.2016, 12:40

sockenschuss

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Bei mir hat sich da eine kleine Ungenauigkeit eingeschlichen:

Zitat:

das Mengen genau dann abzählbar heissen, wenn es eine Bijektion zwischen der Menge der Natürlichen Zahlen und der betrachteten Menge gibt.

Mengen sind auch dann Abzählbar wenn sie endlich sind, also eine Bijektion auf eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen existiert.

Zitat:

Woher willst du wissen, daß die Diagonalzahl rational ist?

Vielleicht fällt dem TE ja noch etwas ein Wink

Aus einem Text:

Zitat:

Die Probleme häuften sich. Beginnend damit, dass Cesare Burali-Forti ein Pa- radox in Cantors Mengenlehre entdeckte, fanden sich immer mehr Probleme. So fand Cantor selbst ein weiteres Paradox und letztendlich entdeckte Russel noch das schon erwähnte Paradox der ” Menge aller Mengen“. Durch harte Kritiken seiner Zeitgenossen und der Angst, dass alle Arbeit nichtig war, ﬁel Cantor in tiefe Depressionen.

28.10.2016, 13:00

Leopold

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Machen wir es doch einmal konkret. Wir zählen die rationalen Zahlen des Intervalls $\begin{align*} (0,1) \end{align*}$ ab, indem wir die Brüche nach aufsteigenden Nennern und, bei gleichem Nenner, nach dazu teilerfremden aufsteigenden Zählern ordnen:

$\begin{align*} \frac{1}{2},\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{5}{6}, \ldots \end{align*}$

Jetzt schreiben wir die dazugehörenden Dezimalbrüche untereinander auf. Wir entscheiden uns dabei gegen Dezimalbrüche, die mit der Periode $\begin{align*} 9 \end{align*}$ aufhören. Es genügt, die Nachkommastellen zu notieren:

$\begin{align*} \color{red} 5 \color{black} 0000000000 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 3 \color{red} 3 \color{black} 333333333 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 66 \color{red} 6 \color{black} 66666666 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 250 \color{red} 0 \color{black} 0000000 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 7500 \color{red} 0 \color{black} 000000 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 20000 \color{red} 0 \color{black} 00000 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 400000 \color{red} 0 \color{black} 0000 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 6000000 \color{red} 0 \color{black} 000 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 80000000 \color{red} 0 \color{black} 00 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 166666666 \color{red} 6 \color{black} 6 \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} 8333333333 \color{red} 3 \color{black} \ldots \end{align*}$
$\begin{align*} \vdots \end{align*}$

Und jetzt bilden wir mit dem Diagonalverfahren einen Dezimalbruch, indem wir die jeweilige Stelle in der Diagonalen um $\begin{align*} 1 \end{align*}$ (modulo $\begin{align*} 10 \end{align*}$ ) erhöhen, außer bei $\begin{align*} 8 \end{align*}$ , da erniedrigen wir um $\begin{align*} 1 \end{align*}$ (so vermeiden wir das Entstehen einer Periode $\begin{align*} 9 \end{align*}$ ):

$\begin{align*} \alpha = 0{,}64711111174 \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} \alpha \end{align*}$ findet sich nicht in der obigen Liste und ist auch mit keinem Dezimalbruch der Liste wertgleich (Vermeiden der Periode $\begin{align*} 9 \end{align*}$ ). Da die Liste aber alle rationalen Zahlen des Intervalls $\begin{align*} (0,1) \end{align*}$ enthält, ist $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ eine irrationale Zahl dieses Intervalls.

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