Treppenfunktionen

27.10.2016, 14:24

yellowman

Treppenfunktionen

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

i) Ist \phi eine Treppenfunktion dann ist auch $\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion. Gilt die Umkehrung für reelle Treppenfunktionen?

ii) Sind $\begin{eqnarray*} \phi,\psi \end{eqnarray*}$ reelle Treppenfunktionen so sind auch $\begin{eqnarray*} max(\phi,\psi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} min(\phi,\psi) \end{eqnarray*}$ Treppenfunktionen

iii) Ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine reelle Treppenfunktion, so sind auch $\begin{eqnarray*} \phi^{\pm} \end{eqnarray*}$ Treppenfunktionen.

Meine Ideen:

i) Eine Treppenfunktion ist definiert als $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\sum_{i=1}^{n}c_i\chi(x) \end{eqnarray*}$

Mir fehlt der Ansatz wie ich das nun gezeigt bekomme.

ii) Noch kein Ansatz

iii) Ich denke man soll hier ausnutzen das gilt $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\phi^+(x)-\phi^-(x) \end{eqnarray*}$ gilt und dann die Definitionen für $\begin{eqnarray*} \phi^+(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi^- \end{eqnarray*}$ einsetzt und zeigt das die Gleichheit gilt?

Vielen Dank!

28.10.2016, 15:56

10001000Nick1

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RE: Treppenfunktionen

Zitat:

Original von yellowman
i) Eine Treppenfunktion ist definiert als $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\sum_{i=1}^{n}c_i\chi(x) \end{eqnarray*}$

Nicht ganz. Es fehlt noch jeweils die Menge auf die sich die Indikatorfunktion bezieht: $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\sum_{i=1}^{n}c_i\chi_{A_i}(x) \end{eqnarray*}$

Du könntest dir z.B. zuerst überlegen, dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ genau dann eine Treppenfunktion ist, wenn sie nur endlich viele Werte annimmt; falls also die Menge $\begin{eqnarray*} \phi(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ endlich ist.
Damit lassen sich die Aufgaben dann ziemlich schnell erledigen.

28.10.2016, 20:19

yellowman

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RE: Treppenfunktionen
Hallo und danke für deine Antwort. Ich bin noch ziemlich neu in dem Thema und ich dachte das eine Treppenfunktion lediglich eine Summe aus Sprungfunktionen ist oder etwa nicht?

Ich finde das noch ziemlich verwirrend ...

Ich dachte schon das man ausgehend von $\begin{eqnarray*} |\phi(x)|=\left|\sum_{i=1}^{n}c_i\chi_{A_i}(x)\right| \end{eqnarray*}$ das irgendwie zeigen muss ...

Wie stelle ich das denn konkret an? Ich denke ohne Hilfe brauche ich wohl an der Aufgabe auch nicht weiter zu machen da ich garkeinen Ansatz zum bearbeiten der Aufgabe habe.

Viele Grüße

28.10.2016, 20:34

10001000Nick1

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RE: Treppenfunktionen

Zitat:

Original von yellowman
ich dachte das eine Treppenfunktion lediglich eine Summe aus Sprungfunktionen ist oder etwa nicht?

Kommt drauf an, was du unter einer "Sprungfunktion" verstehst.

Weißt du, wie die Funktion $\begin{eqnarray*} \chi_{A_i} \end{eqnarray*}$ definiert ist?

Wenn du mit diesem Ansatz weitermachen willst:

Zitat:

Original von 10001000Nick1
dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ genau dann eine Treppenfunktion ist, wenn sie nur endlich viele Werte annimmt; falls also die Menge $\begin{eqnarray*} \phi(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ endlich ist.

dann erstmal zu der Richtung $\begin{eqnarray*} \phi(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ endlich $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \phi \end{eqnarray*}$ ist Treppenfunktion.

Du hast also den Bildbereich $\begin{eqnarray*} \phi(\mathbb R)=\{a_1, ..., a_k\} \end{eqnarray*}$ . Hast du eine Idee, wie du $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ jetzt als $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\sum_{i=1}^{n}c_i\chi_{A_i}(x) \end{eqnarray*}$ darstellen kannst? (D.h. du musst konkrete Mengen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ und Skalare $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ angeben.)

28.10.2016, 20:46

yellowman

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Ich dachte das eine Treppenfunktion die Summe aus charakteristischen Funktionen sind. Also:

$\begin{eqnarray*} \chi_I(x)=\begin{cases}1,\mbox{wenn}~x\in I \\ 0,\mbox{wenn}~x\notin I\end{cases} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} c_I \end{eqnarray*}$ in der Summe stellt lediglich eine Zahl dar die den Wert der charakteristischen Funktion verändert also so etwas wie: $\begin{eqnarray*} 5\chi_I(x) \end{eqnarray*}$ . Du hast allerdings recht, dass eine Menge I bzw. ein Intervall I benötigt wird indem die charakteristische Funktion definiert ist.

28.10.2016, 21:00

10001000Nick1

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Zitat:

Original von yellowman
Ich dachte das eine Treppenfunktion die Summe aus charakteristischen Funktionen sind.

Richtig (gewichtet mit bestimmten Faktoren, den $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ ).

Zitat:

Original von yellowman
Du hast allerdings recht, dass eine Menge I bzw. ein Intervall I benötigt wird indem die charakteristische Funktion definiert ist.

Es kann irgendeine Menge sein.
Der Definitionsbereich einer Treppenfunktion muss nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein (es würde nichts an der Aufgabe ändern, deswegen habe ich oben nur von Funktionen $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gesprochen). Aber dann ist klar, dass die Mengen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ keine Intervalle sein müssen.

28.10.2016, 21:53

yellowman

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Wir reden hier aber noch von i)?
Ich soll doch zeigen das wenn $\begin{eqnarray*} |\phi(x)| \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion ist ob dann auch $\begin{eqnarray*} \phi(x) \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion ist. Warum muss ich mir jetzt Mengen anschauen?
Ich check das noch nicht mit den Mengen und wo du drauf hinaus möchtest ...

28.10.2016, 22:13

10001000Nick1

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Das mit dem endlichen Bildbereich ist erstmal nur eine Vorarbeit für alle drei Aufgaben; nicht speziell für die erste.

Du musst diesen Ansatz nicht benutzen, allerdings sind alle anderen Wege, die mir einfallen, ziemlich umständlich aufzuschreiben. Mit dieser Vorarbeit ist jede Teilaufgabe dann ein Zweizeiler.

Ist dir anschaulich klar, warum der Bildbereich endlich sein muss? Wenn nicht, skizziere dir einfach mal ein paar Graphen von Treppenfunktionen.

29.10.2016, 15:36

yellowman

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Ok, mir ist jetzt klar geworden warum der Bildbereich bei Treppenfunktionen endlich sein muss. Das folgt aus der Definition der charakteristischen Funktionen da diese jeweils nur einen Wert annehmen können. Die Summe bis n in der Definition der Treppenfunktion liefert demnach auch nur einen endlichen Bildbereich.

Inwiefern hilft mir das bei der Bearbeitung der Aufgabe?

Vielen Dank!

29.10.2016, 16:01

10001000Nick1

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Zitat:

Original von yellowman
Inwiefern hilft mir das bei der Bearbeitung der Aufgabe?

Es reicht jetzt, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |\phi|, \max(\phi, \psi) \end{eqnarray*}$ usw. nur endlich viele Werte annehmen, wenn das auf $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ zutrifft.

29.10.2016, 16:54

yellowman

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Es lässt sich doch erstmal sagen:

Wenn Bildbereich von $\begin{eqnarray*} \phi endlich \Rightarrow \phi \end{eqnarray*}$ ist Treppenfunktion.

i) Wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \Rightarrow |\phi| \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \Rightarrow\phi \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion.

Da $\begin{eqnarray*} |\phi|=max(\phi,-\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion ist wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Werte annimmt. Da $\begin{eqnarray*} max(\phi,-\phi) \end{eqnarray*}$ endlich ist wissen wir das wenn $\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion damit auch \phi Treppenfunktion ist.

geht das?

ii) $\begin{eqnarray*} max(\phi,\psi) \end{eqnarray*}$ nehmen einen Wert an und besitzt damit einen endlichen Wertebereich. Da Wertebereich endlich muss $\begin{eqnarray*} max(\phi,\psi) \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion sein. Analog für $\begin{eqnarray*} min(\phi,\psi) \end{eqnarray*}$

passt das?

29.10.2016, 17:28

10001000Nick1

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Zitat:

Original von yellowman
i) Wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \Rightarrow |\phi| \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \Rightarrow\phi \end{eqnarray*}$ Treppenfunktion.

Du sollst die Aussage in der ersten Zeile zeigen. Wieso willst du auf einmal die umgekehrte Richtung zeigen? verwirrt

Und auch dein "Beweis" ist sehr merkwürdig. Mal benutzt du als Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion ist; und dann auf einmal willst du das zeigen.

Ich würde so anfangen:
$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist eine Treppenfunktion, nimmt also nur endlich viele Werte an. Wir nennen diese Werte $\begin{eqnarray*} c_1, ..., c_k \end{eqnarray*}$ .
Welche Werte kann dann $\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ annehmen?

29.10.2016, 17:40

yellowman

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$\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ nimmt dann eine Teilmenge der Werte an. Die Teilmenge ist auch endlich.

29.10.2016, 17:42

10001000Nick1

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Nein, dass muss keine Teilmenge sein.

Einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\begin{cases} -1 & x<0 \\ 5 & 0\leq x<3 \\ -3 & 3\leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nimmt hier also die Werte $\begin{eqnarray*} c_1=-1, c_2=5, c_3=-3 \end{eqnarray*}$ an. Was ist jetzt $\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ ?

29.10.2016, 17:54

yellowman

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$\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ nimmt dann die Werte $\begin{eqnarray*} c_1=1,c_2=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_3=3 \end{eqnarray*}$ an. Das heißt die beiden Wertebereiche stimmen von der Mächtigkeit überein?

29.10.2016, 18:11

10001000Nick1

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Nicht ganz. Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ annimmt, würde $\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ nur den Wert $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ annehmen.

Die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} |\phi|(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist höchstens so groß wie die von $\begin{eqnarray*} \phi(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .

Man kann auch die Werte, die $\begin{eqnarray*} |\phi| \end{eqnarray*}$ annehmen kann, angeben: $\begin{eqnarray*} |c_1|, ..., |c_k| \end{eqnarray*}$ . Das sind auf jeden Fall endlich viele.

29.10.2016, 18:29

yellowman

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Ok, dass habe ich verstanden.

ii) $\begin{eqnarray*} max(\phi,\psi) \end{eqnarray*}$ ist natürlich auch endlich und damit müsste es auch eine Treppenfunktion sein. Das Gleiche für $\begin{eqnarray*} min(\phi,\psi) \end{eqnarray*}$
Reicht die Argumentation schon aus?

29.10.2016, 18:32

10001000Nick1

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Nicht die Funktion $\begin{eqnarray*} \max(\phi, \psi) \end{eqnarray*}$ ist endlich, sondern ihr Bildbereich.

Du könntest/solltest das noch genauer begründen: $\begin{eqnarray*} \max(\phi, \psi) \end{eqnarray*}$ kann nur Werte annehmen, die von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ angenommen werden...

29.10.2016, 19:39

yellowman

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Ok, ich denke das bekomme ich hin. Nun zum letzten Aufgabenteil.

iii) Begründet man hier ebenfalls mit dem Wertebereich der Treppenfunktion?

Der Wertebereich von $\begin{eqnarray*} \phi^+(x) \end{eqnarray*}$ ist endlich und der Wertebereich von $\begin{eqnarray*} \phi^-(x) \end{eqnarray*}$ ist endlich. Damit muss $\begin{eqnarray*} \phi^+(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi^-(x) \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion sein.

Reicht das?

Viele Grüße!

30.10.2016, 09:13

10001000Nick1

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Naja, gleiches Problem wie oben: Du sagst nur, dass es so ist, begründest es aber nicht.

30.10.2016, 09:27

Guppi12

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Hallo,
kurzer Einwurf. Die Definition einer Treppenfunktion scheint mir nicht einheitlich zu sein. Ich kenne die Definition so, dass die charakteristischen Funktionen in der Tat zu Intervallen (oder allgemeiner zu Quadern) gehören müssen. Das, was Nick meint, kenne ich als einfache Funktionen. Wikipedia sieht das auch so, aber das muss ja nichts heißen. Ich möchte damit nur anregen, dass der Threadersteller vielleicht nochmal genau in den Unterlagen nachsieht, wie das bei ihm definiert wurde.

30.10.2016, 10:41

yellowman

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Hallo Guppi12, wir haben die Treppenfunktion über charakterisitischen Funktionen definiert und im allgemeinen eher von Quadern gesprochen.

@Nick, ich werde das noch etwas weiter begründen. Ich denke damit kann hier auch geschlossen werden und ich bedanke mich für deine Hilfe.

Bis zum nächsten mal! smile

30.10.2016, 13:53

Guppi12

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Ich bin nur ungern Spielverderber, aber wenn bei euch von Quadern gesprochen wurde, dann ist die Charakterisierung über das endliche Bild leider nicht richtig und es muss der umständlichere Weg gegangen werden, den Nick oben erwähnt hat.

30.10.2016, 14:27

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Guppi12
Wikipedia sieht das auch so, aber das muss ja nichts heißen.

Naja, zumindest steht im Artikel über einfache Funktionen der Satz: "Eine einfache Funktion wird auch als Elementarfunktion oder als Treppenfunktion bezeichnet." Augenzwinkern

In meiner Analysis-III-Vorlesung wurde ebenfalls kein Unterschied zwischen Treppenfunktionen und einfachen Funktionen gemacht (bzw. gab es da den Begriff der einfachen Funktion gar nicht).

Aber nun gut, dann eben den etwas komplizierteren Weg:
Um sich das Leben trotzdem etwas zu vereinfachen, könnte man zuerst zeigen, dass sich jede Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\sum_{i=1}^{n}c_i \chi_{A_i}(x) \end{eqnarray*}$ mit Quadern $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ darstellen lässt als $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\sum_{i=1}^{m} d_i \chi_{B_i}(x) \end{eqnarray*}$ mit paarweise disjunkten Quadern $\begin{eqnarray*} B_i \end{eqnarray*}$ (was letztendlich darauf hinausläuft, dass der Schnitt endlich vieler Quader wieder ein Quader ist (oder leer)).

Eigentlich brauchst du dich nur um Aufgabe b) zu kümmern, denn wie du schon bemerkt hast, ist $\begin{eqnarray*} |\phi|=\max(\phi, -\phi) \end{eqnarray*}$ . Aufgabe c) ist dann per Definition von $\begin{eqnarray*} \phi^+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi^- \end{eqnarray*}$ auch klar.

Und dann würde es in b) auch reichen, wenn du für eine der Funktionen $\begin{eqnarray*} \max(\phi, \psi), \min(\phi, \psi) \end{eqnarray*}$ zeigst, dass sie eine Treppenfunktion ist. Warum das so ist, kannst du dir ja mal selbst überlegen. Augenzwinkern

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