2)dx

27.10.2016, 16:55

balance

int sin(x)/sin^4(x/2)dx

Hallo,

$\begin{eqnarray*} \int \frac{sin(x)}{ sin^4(x/2)}dx \end{eqnarray*}$

sub: $\begin{eqnarray*} x=2t \ \Rightarrow \ 2dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \quad 2\int \frac{sin(2t)}{ sin^4(t)}dx = \int\frac{sin(t)cos(t)}{sin^4(t) }= 4\int\frac{cos(t)}{sin^3(t)} \end{eqnarray*}$

sub: $\begin{eqnarray*} tan(t/2) = s \ \Rightarrow dt=\frac{2}{1+s^2}ds \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} sin(t)=\frac{2s}{1+s^2},\quad cos(t)=\frac{1-s^2}{1+s^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \quad 4\int\frac{\frac{1-s^2}{1+s^2}}{(\frac{2s}{1+s^2})^3}\frac{2}{1+s^2}ds=4\int\frac{2(1-s^2)(1+s^2)^3}{(1+s^2)^2(2s)^3}ds=\int\frac{(1-s^2)(1+s^2)}{(s)^3}=\int\frac{1-s^4}{s^3}ds=\int s^{-3}ds-\int s ds \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =[\frac{1}{-2}s^{-2}]-[\frac{1}{2}s^2]+C=\frac{-1}{2}[\frac{1}{s^2}+s^2] \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} s=tan(x/4) \end{eqnarray*}$

Somit kriegen wir: $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2}[\frac{1}{tan(x/4)^2}+tan(x/4)^2] + C \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

edit Mathema: Zeilenumbruch eingefügt

27.10.2016, 17:09

Mulder

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RE: int sin(x)/sin^4(x/2)dx
Mag ich nicht nachrechnen, aber hier

Zitat:

Original von balance
$\begin{eqnarray*} 4\int\frac{cos(t)}{sin^3(t)} \end{eqnarray*}$

musst du eigentlich mit der Substitution sin(t)=u weitermachen. Das ist doch viel simpler und kürzer.

27.10.2016, 17:11

Leopold

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Ehrlich gesagt, habe ich mir es nicht zu Ende angeschaut. Denn als ich das hier gesehen hatte:

$\begin{align*} \ldots = 4 \int \frac{\cos t}{\sin^3 t} ~ \color{red} \dd t \end{align*}$

habe ich mich gefragt: Warum nur substituiert er jetzt nicht einfach $\begin{align*} u = \sin t ? \end{align*}$

27.10.2016, 17:33

Mathema

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Wieso überprüfst du nicht selbst?

kli
ck

27.10.2016, 18:12

balance

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Zitat:

Original von Mathema
Wieso überprüfst du nicht selbst?

kli
ck

Weil je nach Weg bei trigonometrischen Integralen diverse Ergebnise gleich sein können und ich das nicht immer sehe.

Danke für den Tipp von euch 2, hehe Big Laugh

Mach ich gleich mal.

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int sin(x)/sin^4(x/2)dx

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