Arccos darstellen durch Tangens

28.10.2016, 10:35	FaithNoMore	Auf diesen Beitrag antworten »
Arccos darstellen durch Tangens Meine Frage: Hallo Ich versuche gerade für eine Programmierung folgendes zu tun: Der Kosinus lässt sich ja auch ausdrücken als $\begin{eqnarray} cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1+tan^2(x)}} \end{eqnarray}$ . Ich würde nun gern über die Alternative tangens-Darstellung des Kosinus die Umkehrfunktion, also den arccos, bilden. Ich bin mir aber nicht ganz sicher, wie ich das anstellen soll. Kann mir hierbei möglicherweise jemand helfen? Meine Ideen: Ich habe bisher leider keine Idee, wie ich das Ganze angehen könnte. Wenn ich zuerst mit der Wurzel multiplizieren würde, kämen da ein heilloses Kuddelmuddel heraus. $\begin{eqnarray} cos(x) \cdot \sqrt{1+tan^2(x)} = 1 \end{eqnarray}$ Wäre sehr dankbar für jegliche Unterstützung!
28.10.2016, 11:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekanntlich gilt $\begin{eqnarray} \tan(x)=\tfrac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{\cos(x)} \end{eqnarray}$ Die Umkehrung dieser Gleichung lautet $\begin{eqnarray} x=\arctan \left (\tfrac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{\cos(x)}\right ) \end{eqnarray}$ Darin substituieren wir auf der rechten Seite $\begin{eqnarray} \cos(x)=z \end{eqnarray}$ , so dass man auf der linken Seite umgekehrt substituieren kann $\begin{eqnarray} x=\arccos(z) \end{eqnarray}$ . Damit ergibt sich $\begin{eqnarray} \arccos(z)=\arctan \left (\tfrac{\sqrt{1-z^2}}{z}\right ) \end{eqnarray}$
28.10.2016, 14:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu beachten ist, dass diese Identität nur für $\begin{align} 0<z\leq 1 \end{align}$ gilt, nicht aber für $\begin{align} -1\leq z\leq 0 \end{align}$ . Richtig für alle $\begin{align} -1<z<1 \end{align}$ wäre $\begin{align} \arccos(z) = \operatorname{arccot}\left( \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} \right) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} \right) \end{align}$ und an den Stellen $\begin{align} z=\pm 1 \end{align}$ selbst stimmt diese Formel zumindest per stetigem Anschluss.

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