Nochmal vollst. Ind.

28.10.2016, 15:29

Starflag

Nochmal vollst. Ind.

Heyho, ja ich bin es nochmal xD Ihr seht schon vollst. Ind. beschäftigt mich grad sehr hehe

Also die Aufgabe ist diese hier:

Weisen Sie nach, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} + ... + \frac{512}{19683} + \frac{1024}{59049} < \frac{199}{100} \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsansatz:

Ich habe als erstes die Reihe oben als Summe dargestellt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2^n}{3^n} < \frac{199}{100} \end{eqnarray*}$ wobei n von 1 bis 10 läuft.

Dann habe ich noch weiter umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 2^n < \frac{199}{100} * 3^n \end{eqnarray*}$

(I.A.) Die Aussage gilt für n=1

(I.V.) Sei die Aussage wahr für ein n aus N.

(I.S.) n-> n+1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} 2^n = \sum\limits_{k=1}^{n} 2^n + 2^{n+1} < \frac{199}{100} * 3^n + 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{199}{100} * 3^n < 2^{n+1} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{199}{100} * 3^n + 2^{n+1} < \frac{199}{100} * 3^n + \frac{199}{100} * 3^n = \frac{199}{300} * 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

Meine Frage wäre jetzt: Gibt es noch einen besseren/schnelleren Weg? Habe zum Beispiel auf gesehen, dass man 199/100 subtrahiert und dann alles auf einen Nenner bringt, aber das finde ich zu viel rumrechnerei. Und natürlich, ob mein Weg so überhaupt stimmt smile

28.10.2016, 16:04

HAL 9000

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Es handelt sich hier um die Partialsumme $\begin{align*} \sum_{k=1}^n q^k \end{align*}$ einer geometrischen Reihe, und zwar mit $\begin{align*} q=\frac{2}{3} \end{align*}$ und $\begin{align*} n=10 \end{align*}$ .

Dafür gibt es eine einschlägige Summenformel, die da lautet $\begin{align*} \sum_{k=1}^n q^k = q\cdot \frac{1-q^n}{1-q} \end{align*}$ , hier also

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{10} \left(\frac{2}{3}\right)^k = \frac{2}{3}\cdot \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{10}}{1-\frac{2}{3}} = 2\cdot \left( 1-\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\right) \end{align*}$ .

Nachzuweisen ist hier also letzten Endes $\begin{align*} 2\cdot \left( 1-\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\right) < \frac{199}{100} \end{align*}$ . Das Summenende (=Exponent) 10 ist durchaus bedeutsam: Für $\begin{align*} n\geq 14 \end{align*}$ gilt diese obere Schranke $\begin{align*} \frac{199}{100} \end{align*}$ nämlich nicht (mehr). unglücklich

Was du mit deinem Induktionsbeweis hier anstellen willst, ist mir hingegen rätselhaft. Das hier z.B.

Zitat:

Original von Starflag
Außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{199}{100} * 3^n < 2^{n+1} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

ist grottenfalsch, das gilt für kein $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ . unglücklich

Aber die eigentliche Gurke liegt noch weiter oben:

Zitat:

Original von Starflag
Ich habe als erstes die Reihe oben als Summe dargestellt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2^n}{3^n} < \frac{199}{100} \end{eqnarray*}$ wobei n von 1 bis 10 läuft.

Dann habe ich noch weiter umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 2^n < \frac{199}{100} * 3^n \end{eqnarray*}$

Links steht nicht $\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2^n}{3^n} \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2^k}{3^k} \end{align*}$ . Eine Multiplikation mit $\begin{align*} 3^n \end{align*}$ ergibt dann aber nicht $\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n 2^k < \frac{199}{100} \cdot 3^n \end{align*}$ , sondern

$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n 2^k\cdot 3^{n-k} < \frac{199}{100} \cdot 3^n \end{align*}$ ,

womit deine ganzen restlichen Überlegungen leider für die Katz sind.

28.10.2016, 16:18

Starflag

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das hier z.B.

Zitat:

Original von Starflag
Außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{199}{100} * 3^n < 2^{n+1} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

ist grottenfalsch, das gilt für kein $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ . unglücklich

Das war ein Schreibfehler, da muss einfach anstelle von kleiner ein größer hin.

Zitat:

Aber die eigentliche Gurke liegt noch weiter oben:

Zitat:

Okay das wusste ich nicht. Hat der Prof auch nie erwähnt! Aber jetzt weiß ich das ja.
Probiere das später nochmal mit der geometrischen Summenformel. Danke erstmal soweit Freude

28.10.2016, 16:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Starflag
Hat der Prof auch nie erwähnt!

Was hat er nicht erwähnt? Keine billigen Schuldzuweisungen bitte, man muss auch mal zu seinen eigenen Fehlern stehen. Augenzwinkern

31.10.2016, 12:24

Starflag

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Okay hier ist die Lösung:

$\begin{eqnarray*} <br /> 2(1-(\frac{2}{3} )^{10}) < \frac{199}{100} <br /> \equiv 2(1-\frac{1024}{59049}) < \frac{199}{100} <br /> \equiv \frac{58025}{59049} < \frac{199}{100*2}<br /> \equiv 0,983 < 0,995 \end{eqnarray*}$

Danke nochmal für die Hilfe! smile

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