Drei Funktionen auf injektiv, surjektiv und bijektiv prüfen

29.10.2016, 10:11

MUneu

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Drei Funktionen auf injektiv, surjektiv und bijektiv prüfen

Also ich habe folgene Aufgabe in der Uni bekommen und bin mir nicht ganz sicher ob die Lösungen so richtig sind.

Die Aufgaben Stellung: Betrachte die folgenden drei Funktionen die von den ganzen Zahlen in die ganzen Zahlen abbilden. Entscheiden Sie, ob die Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind und beweisen Sie Ihre Entscheidung:

(a) $\begin{eqnarray*} f : \mathbb Z \Rightarrow \mathbb Z \times \mathbb Z ; m \Rightarrow (m^{2}-3,(m-2)^{2}) \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} g : \mathbb Z \times \mathbb Z \Rightarrow \mathbb Z ; (n,m) \Rightarrow -m-n^{2} \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} h : \mathbb Z \times \mathbb Z \Rightarrow \mathbb Z \times \mathbb Z; (m,n) \Rightarrow (m-n,m+n) \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsansatz:
(a) f ist nicht surjektiv da für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-1 \end{eqnarray*}$ exisitiert, also auch keins mit $\begin{eqnarray*} f(m)=(20;-1) \end{eqnarray*}$

f ist injektiv:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$
Annahme: $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-2)^{2}=(y-2)^{2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x^{2}=y^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}-y^{2}=0 \Rightarrow (x+y)*(x-y)=0 \Rightarrow x=-y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-y-2)^{2}=(y-2)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{2}+4y+4=y^{2}-4y+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0=x \end{eqnarray*}$ Was nicht sein darf.
$\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$

Ist auch nicht bijektiv, da die Funktion nicht surjektiv ist.

(b) g ist nicht surjektiv, da es für $\begin{eqnarray*} g(n,0)=2 \end{eqnarray*}$ keine Lösung gibt:
$\begin{eqnarray*} g(n,0)=-0-n^{2}=-n^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -n^{2}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{2} = -2 \end{eqnarray*}$ => Keine Lösung für n.

g ist nicht injektiv, da: $\begin{eqnarray*} f(1,1)=2=f(0,2) \end{eqnarray*}$

Ist auch nicht bijektiv, da die Funktion weder injektiv noch surjektiv ist.

(c) h ist surjektiv, da: für $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y-x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} h(x,y)=((y-x)-x,(y-x)+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((y-x)-x,y) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y+x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} h(x,y)=(y-(y+x),y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$

h ist nicht surjektiv, da: $\begin{eqnarray*} h(1,1)=(0,2)=h(0,2) \end{eqnarray*}$

29.10.2016, 11:37

Guppi12

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Hallo,

vorweg: es ist schön, dass du Latex verwendest. Gleich zwei Tipps dazu. Bei der Definition einer Abbildung verwendet man als ersten Pfeil ein \to, als zweiten Pfeil ein \mapsto. Das sieht dann etwa so aus: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathbb Z, m\mapsto (m^2-3, (m-2)^2) \end{eqnarray*}$ .

Auch generell musst du dir angewöhnen, Variablen einzuführen. Sowas wie

Zitat:

f ist injektiv: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ Annahme: $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$

geht nicht. Schreibe: Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ .

Danach kannst du mit deiner Annahme weitermachen. Hinter die Annahme gehört etwas wie "Damit folgt ...". Ein mathematischer Beweis ist in erster Linie ein Text in (z.B.) deutscher Sprache, keine Aneinanderreihungen von Formeln. Verbindungen wie "Es gilt", "dann folgt", etc. gehören dazu.

Aufgabe a) hast du mit viel Wohlwollen richtig gelöst. Warum mit viel Wohlwollen? Du hast dir nicht allzu viel Mühe mit der Sprache gegeben. Den Abschnitt

Zitat:

f ist nicht surjektiv da für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-1 \end{eqnarray*}$ exisitiert

versteht man nur, wenn man schon vorher weiß, was du eigentlich sagen wolltest. Die Injektivität ist abgesehen von dem, was ich oben schrieb, richtig behandelt, es fehlen halt Erklärungen in deutscher Sprache.

Für dein Beispiel zur Nichtsurjektivität benötigst du, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\notin \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Das müsstest du ggf. noch beweisen, etwa mit einem Monotonieargument der Quadratfunktion.

b) ist nicht richtig gelöst. Was hat

Zitat:

(b) g ist nicht surjektiv, da es für $\begin{eqnarray*} g(n,0)=2 \end{eqnarray*}$ keine Lösung gibt:

mit der Surjektivität zu tun? Ich verstehe nicht, was du da tust, lies nochmal nach, was für Surjektivität genau gegeben sein muss.
Auch hier hast du die Injektivität richtig behandelt wenn man davon absieht, dass du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in das Gegenbeispiel geschrieben hast und in der Mitte $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ stehen müsste.

Bei c) schreibst du

Zitat:

(c) h ist surjektiv, da: für $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y-x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

und später

Zitat:

h ist nicht surjektiv, da: $\begin{eqnarray*} h(1,1)=(0,2)=h(0,2) \end{eqnarray*}$

Da hat wohl die Konzentration nachgelassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Letzteres ist ein valides Gegenbeispiel für Injektivität.
Was du zur Surjektivität gemacht hast, kann ich nicht nachvollziehen, es ist jedenfalls falsch. Das geht schon sofort mit $\begin{eqnarray*} h(x,y)=((y-x)-x,(y-x)+x) \end{eqnarray*}$ los, das stimmt einfach nicht, genauso ist $\begin{eqnarray*} h(x,y)=(y-(y+x),y) \end{eqnarray*}$ falsch. So ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Ich habe daher keine Ahnung, was du da tust.

29.10.2016, 11:44

Dopap

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RE: Drei Funktionen auf injektiv, surjektiv und bijektiv prüfen
es gibt viel zu tun. Beschränken wir uns mal auf a.)

Zitat:

Original von MUneu
(a) $\begin{eqnarray*} f : \mathbb Z \Rightarrow \mathbb Z \times \mathbb Z ; m \Rightarrow (m^{2}-3,(m-2)^{2}) \end{eqnarray*}$

Es muss heißen:
(a) $\begin{eqnarray*} f : \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z \times \mathbb Z ; m \mapsto (m^{2}-3,(m-2)^{2}) \end{eqnarray*}$
Das kann nur surjektiv sein, wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \times \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die Wertemenge sein soll. Test:

Zitat:

Mein Lösungsansatz:
(a) f ist nicht surjektiv da für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-1 \end{eqnarray*}$ exisitiert, also auch keins mit $\begin{eqnarray*} f(m)=(20;-1) \end{eqnarray*}$

kann man so halbwegs stehen lassen.

Zitat:

f ist injektiv:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$
Annahme: $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$

so nicht, es fehlt die Folgerung:
f ist Injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)=f(y)\Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
Beweis durch Widerspruch: Sei $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x-2)^{2}=(y-2)^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{2}=y^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-y^{2}=0 \Rightarrow (x+y)*(x-y)=0 \Rightarrow x=-y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-y-2)^{2}=(y-2)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{2}+4y+4=y^{2}-4y+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0=x \end{eqnarray*}$ Was nicht sein darf.
$\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$

ja was jetzt ? Widerspruch oder nicht verwirrt

verwirrt

29.10.2016, 12:28

MUneu

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RE: Drei Funktionen auf injektiv, surjektiv und bijektiv prüfen
Also zu (a) habe ich jetzt folgende Lösung aufgeschrieben:

Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
Beweis durch Widerspruch: Sei $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-2)^{2}=(y-2)^{2} \Rightarrow x^{2}=y^{2} \end{eqnarray*}$

darauf folgt: $\begin{eqnarray*} x^{2}-y^{2}=0 \Rightarrow (x+y)*(x-y)=0 \Rightarrow x=-y \end{eqnarray*}$

Somit folgt: $\begin{eqnarray*} (-y-2)^{2}=(y-2)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y^{2}+4y+4=y^{2}-4y+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y=0=x \end{eqnarray*}$ Stellt einen Widerspruch dar

f ist nicht surjektiv, da für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-1 \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ exisitiert, d.h. es exisistiert kein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(m)=(20,-1) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-1 \end{eqnarray*}$ |+3
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m^{2}=2 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Damit folgt $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2} \notin \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Soweit zu Aufgabe (a).

Zu Aufgabe (b): Den Beweis für die Injektivität habe ich jetzt so umgeschrieben wie von Gruppi12 vorgeschlagen.

Bei der Surjektivität weis ich überhaupt nicht weiter. Normalerweise muss bei der Surjektivität doch auf jedes Element in der Zielmenge abgebildet werden?

Nur wie beweise ich soetwas. Wir hatten das noch nicht in der Vorlesung (zugegeben, ich studiere auch erst seit 2 Wochen) und in den Übungen werden wir das erst am Donnerstag behandeln, nur da muss die Hausaufgabe schon abgegeben sein. Daher meine Frage an das Forum, wie beweise ich die Surjektivität bzw. widerlege sie in Aufgabe (b) und (c).

Zu Aufgabe (c), dort hatte ich mich verschrieben, es sollte lauten h ist nicht injektiv, da: $\begin{eqnarray*} h(1,1)=(0,2)=h(0,2) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für eure Mühen und Hilfe smile

smile

30.10.2016, 00:31

Guppi12

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Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Das ist leider auch nicht ganz richtig. Was du hier wohl sagen möchtest, ist: Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ .
Beweis durch Widerspruch: Angenommen $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ ...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x-2)^{2}=(y-2)^{2} \Rightarrow x^{2}=y^{2} \end{eqnarray*}$

Du meinst hier wohl: Dann gilt $\begin{eqnarray*} (x-2)^2 = (y-2)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2=y^2 \end{eqnarray*}$ , mit einer Folgerung hat das nichts zu tun.

Den Rest kannst du so schreiben.

Zitat:

ist nicht surjektiv, da für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-1 \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ exisitiert

Schreib das besser so: ... nicht surjektiv, da kein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} m^2-3 = -1 \end{eqnarray*}$ , d.h. es ....

Zitat:

$\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-1 \end{eqnarray*}$ |+3 $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m^{2}=2 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Damit folgt $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2} \notin \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Das ist leider kein Beweis, ich sehe nicht, wie hieraus folgen soll, das sqrt(2) nicht in Z liegt. Etwas einfacher kannst du es dir vielleicht machen, wenn du stattdessen zeigst, dass $\begin{eqnarray*} m^2-3 \geq -3 \end{eqnarray*}$ , wodurch $\begin{eqnarray*} (20, -4) \end{eqnarray*}$ nicht im Bild liegen kann. Dafür musst du nur zeigen, dass Quadrate positiv sind, was vielleicht etwas einfacher ist.

Tipp zur b) Hier ist keine Surjektivität zu widerlegen, sondern zu zeigen. Schau dir mal an, was passiert, wenn du die erste Komponente gleich 0 wählst.

Tipp zur c) Wie müssen m,n aussehen, wenn in der ersten Komponente von h(m,n) eine Null stehen soll? Wie sieht dann die zweite Komponente von h(m,n) aus?

30.10.2016, 17:29

MUneu

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Zu (a):

Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ .
Beweis durch Widerspruch: Angenommen $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$
Dann gilt $\begin{eqnarray*} (x-2)^{2}=(y-2)^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{2}=y^{2} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} x^{2}-y^{2}=0 \Rightarrow (x+y)*(x-y)=0 \Rightarrow x=-y \end{eqnarray*}$
Somit folgt: $\begin{eqnarray*} (-y-2)^{2}=(y-2)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y^{2}+4y+4=y^{2}-4y+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y=0=x \end{eqnarray*}$ => Widerspruch

f ist nicht surjektiv, da kein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-4 \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert kein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(m)=(20;-4) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-4 \end{eqnarray*}$ |+3
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m^{2}=-1 \end{eqnarray*}$ | sqrt()
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ => Widerspruch

(b) Also wenn ich $\begin{eqnarray*} g(0,m) \end{eqnarray*}$ setze, dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} g(0,m)=-m-0^{2}=-m \end{eqnarray*}$ . Also theorethisch könnte ich damit alle natürlichen Zahlen abbilden, entweder negativ, dann besetze ich das Quadrat nicht mit 0 oder negativ, dann besetze ich das Quadrat mit 0. Oder was sollte ich da sehen? Forum Kloppe

Forum Kloppe

(c) Also ich habe jetzt mal folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} m-n=0 \end{eqnarray*}$ | +n
$\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Komponente würde dann ja $\begin{eqnarray*} 2*m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2*n \end{eqnarray*}$ auch gehen oder?

Nur leider habe ich immer noch keinen schimmer, wie ich darauf einen Beweis machen soll unglücklich

unglücklich

Wirklich ganz dollen Dank für die viele Hilfe bisher smile

smile

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30.10.2016, 23:39

Guppi12

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Also erstmal zur (a). Der Beweis zur inkektivität ist dir jetzt exzellent gelungen. Der Beweis zur Surjektivität geht leider so immernoch nicht. An der Stelle m^2 = -1 solltest du stattdessen eher erwähnen, dass Quadrate reeller Zahlen stets positiv sind.

(b) was ist denn g(0,-m) ?

(c) wenn dann in der zweiten Komponente immer 2m steht, was ist dann mit ungeraden Zahlen?

31.10.2016, 11:09

MUneu

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Erst mal vielen Dank für deine Hilfe bisher Freude

Freude

zu (a)
f ist nicht surjektiv, da kein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-4 \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert kein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(m)=(20;-4) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} m^{2}-3=-4 \end{eqnarray*}$ |+3
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m^{2}=-1 \end{eqnarray*}$ | => das Quadrat reeller Zahlen ist immer positiv

Bsp. dazu:
$\begin{eqnarray*} m^{2} = m*m \end{eqnarray*}$ | => positive Zahl
$\begin{eqnarray*} (-m)^{2} = (-m)*(-m) = m*m \end{eqnarray*}$ | => Minus mal Minus wird zu Plus

Wäre das so ok?

Zu (b):

Also ich glaube ich muss da erst noch mal eine andere Frage zu stellen. Und zwar, muss man mit jedem g(n,m) auf jedes Element in der Zielmenge zeigen? Also muss z.B. g(50,m) jedes Element in der Zielmenge abbilden?

Zur Frage von dir, dann ist $\begin{eqnarray*} g(0,-m)=-(-m)-0^{2}=-(-m)=m \end{eqnarray*}$ damit kann ich jetzt aber keine negativen Zahlen mehr abbilden. Wäre das schon ein Beweis für die Surjektivität, wenn ich mit g(0,m) alle negativen ganzen Zahlen abbilden kann und mit g(0,-m) alle positiven ganzen Zahlen abbilden kann.

Wie würde ich dann so einen Beweis schreiben:

g ist surjektiv, da $\begin{eqnarray*} (g(0,m) \wedge g(0, -m)): \forall \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ abbilden
$\begin{eqnarray*} g(0,-m)=-(-m)-0^{2}=-(-m)=m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g(0,m)=-m-0^{2}=-m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Zu (c):
Zahlen die eine 2 als Multiplikator haben können nur positiv sein.

31.10.2016, 11:34

Guppi12

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Zitat:

Bsp. dazu: $\begin{eqnarray*} m^{2} = m*m \end{eqnarray*}$ | => positive Zahl $\begin{eqnarray*} (-m)^{2} = (-m)*(-m) = m*m \end{eqnarray*}$ | => Minus mal Minus wird zu Plus

Ein Beispiel ist natürlich kein Beweis. Es kommt hier sehr stark darauf an, was du zur Verfügung hast.

Möglichkeit 1) Ihr habt schonmal irgendwann bewiesen, dass Quadrate reeller Zahlen stets positiv sind, dann bist du bereits vor diesem Absatz fertig.

Möglichkeit 2) Ihr habt das noch nicht bewiesen, ihr habt allerdings auch noch keine Ordnungseigenschaften behandelt. In dem Fall wird wahrscheinlich erwartet, dass ihr die Positivität der Quadrate einfach unbewiesen verwendet.

Möglichkeit 3) Weder 1) noch 2) Dann beweist du diese Eigenschaft direkt anhand der Ordnungeigenschaften. Ist $\begin{eqnarray*} m\geq 0 \end{eqnarray*}$ , so ist nach Monotonie der Multiplikation auch $\begin{eqnarray*} m\cdot m\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} m<0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} -m>0 \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} m^2 = (-m)(-m)>0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Also ich glaube ich muss da erst noch mal eine andere Frage zu stellen. Und zwar, muss man mit jedem g(n,m) auf jedes Element in der Zielmenge zeigen? Also muss z.B. g(50,m) jedes Element in der Zielmenge abbilden?

Nein, du brauchst nur zu jedem Element der Zielmenge mindestens ein Paar (n,m), das darauf abgebildet wird. Dabei kannst du natürlich beide Komponenten frei wählen und es ist keinesfalls eine der beiden auf irgendeine Art fest. Surjektivität ist schließlich gegeben, wenn du zu jedem Element des Zielbereichs mindestens ein Urbild findest, warum solltest du dich bei den Urbildern so stark einschränken?

Zitat:

Zur Frage von dir, dann ist $\begin{eqnarray*} g(0,-m)=-(-m)-0^{2}=-(-m)=m \end{eqnarray*}$ damit kann ich jetzt aber keine negativen Zahlen mehr abbilden.

Warum nicht? m kann doch negativ sein verwirrt

verwirrt

Zitat:

Zu (c): Zahlen die eine 2 als Multiplikator haben können nur positiv sein.

Das solltest du nochmal überdenken. Was ist mit -2 = 2*(-1) ?

31.10.2016, 14:08

MUneu

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Zu (a) also ich hatte bisher nur 4 Mathe-Vorlesungen in Diskreter Mathematik und mein Hauptstudiengang ist auch Informatik. Wir haben die Beweise auch nur 2 Vorlesungen lang behandelt und sind ab Donnerstag schon bei einem neuen Thema, weshalb ich glaube, das ich nicht unbedingt beweisen muss das ein Quadrat immer positiv ist.

Zu (b) das Ergebnis kann doch nur negativ sein bei g(0,m) oder? Und bei g(0,-m) positiv?

Zu (c) ja da hat die Konzentration in der Bahn nachgelassen. Ich meinte natürlich das die Zahl dann nur gerade sein kann

31.10.2016, 16:19

Guppi12

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b) Warum denn? Wenn m = -2 ist, dann ist g(0,-m) nicht positiv.

c) kannst du daraus nun irgendwelche Rückschlüsse ziehen?

31.10.2016, 19:47

MUneu

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Zu (b) Die Funktion lautet doch g(n,m), wieso darf ich sie jetzt einfach durch g(n,-m) ersetzen? Ich dachte du meintest mit dem g(0,-m) das ich für m eine negative Zahl einsetze und daher das -m zustande kommt. Wenn ich bei g aber einfach irgendwas einsetzen kann mit beliebig vielen Vorzeichen, dann wäre m bei g(0,-m) mit einer -2 negativ, da dann 3 Minuszeichen hintereinander folgen würden und da Plus und Minus zu Minus werden wäre es dann eben eine negative Zahl. Aber warum man das machen darf, verstehe ich noch nicht ganz.

Zu (c) die natürlichen Zahlen bilden ja auch ungerade Zahlen ab, somit könnte h mit der ersten Komponente gleich 0 nicht alle Elemente der natürlichen Zahlen abbilden. Allerdings habe ich doch jetzt nur den Fall behandelt, wenn m und n gleich sind oder? unglücklich

unglücklich

31.10.2016, 20:04

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe irgendwie dein Problem bei b) nicht. Wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ irgendein Element des Zielbereichs ist (also eine ganze Zahl), völlig egal ob positiv oder negativ, dann ist $\begin{eqnarray*} -m \end{eqnarray*}$ auch eine ganze Zahl. Über deren Vorzeichen kann man nichts aussagen, das ist auch irrelevant. Dann ist $\begin{eqnarray*} (0,-m) \end{eqnarray*}$ doch ein Element des Definitionsbereiches von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , da es ein Tupel ganzer Zahlen ist. Dieses Tupel darfst du also in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einsetzen und es kommt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ heraus, also genau das Element des Zielbereichs, dass wir uns für das Zeigen der Surjektivität hergenommen haben.

Vielleicht noch ein Anstoß zum Weiterdenken bei c). Wie könntest du das Element (0, 1) im Zielbereich möglicherweise als Bild treffen? Wie müssten m,n dann aussehen?

31.10.2016, 21:58

MUneu

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Zitat:

Ich verstehe irgendwie dein Problem bei b) nicht. Wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ irgendein Element des Zielbereichs ist (also eine ganze Zahl), völlig egal ob positiv oder negativ, dann ist $\begin{eqnarray*} -m \end{eqnarray*}$ auch eine ganze Zahl. Über deren Vorzeichen kann man nichts aussagen, das ist auch irrelevant. Dann ist $\begin{eqnarray*} (0,-m) \end{eqnarray*}$ doch ein Element des Definitionsbereiches von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , da es ein Tupel ganzer Zahlen ist. Dieses Tupel darfst du also in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einsetzen und es kommt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ heraus, also genau das Element des Zielbereichs, dass wir uns für das Zeigen der Surjektivität hergenommen haben.

Wie würde ein solcher Beweis den letztendlich aussehen?

Und gibt es ein Schema nach dem ich immer vorgehen kann oder muss ich bei jeder Aufgabe genau hingucken und mir überlegen wie ich einsetzen oder umformen kann um etwas zu beweisen?

Zu (c) Wenn ich (0, 1) im Zielbereich treffen will, dann müsste für die 0 m=n sein, dann würde aber die zweite Komponente 2m sein und das würde aufgelöst 0,5 für m bzw. n ergeben:

$\begin{eqnarray*} m-n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m=n \end{eqnarray*}$

-- Zweite Komponente:
$\begin{eqnarray*} 2m = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m = 0,5 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} 0,5 \notin \mathbb Z \end{eqnarray*}$

31.10.2016, 22:01

Guppi12

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Zitat:

Wie würde ein solcher Beweis den letztendlich aussehen?

Sei $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist $\begin{eqnarray*} (0,-m)\in\mathbb Z\times \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} g(0,-m) = -(-m)-0^2 = m \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ surjektiv.

bei c) ist dein Gedankengang jetzt richtig und gerade vor dem Hintergrund, dass du garnicht Mathematik studierst, reicht das so denke ich als Begründung aus.

31.10.2016, 22:09

MUneu

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Ok, dann bedanke ich mich wirklich ganz herzlich bei dir für die viele Hilfe und deine Mühen smile

smile

))

31.10.2016, 23:01

Guppi12

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Gern geschehen. Freut mich, wenn es dir geholfen hat smile

smile

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