Betrag und Phase einer Fourier-Transformierten

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svloga Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag und Phase einer Fourier-Transformierten
Guten Tag,

von der folgenden Funktion (im Frequenzbereich) sollen Betrag und Phase bestimmt werden:


(si soll der sinus cardinalis sein, also si bzw. sinc bzw. (sin(x)/x)).
Im Zeitbereich ist dies eine um t0 verschobene Rechteckfunktion mit der Höhe 1 von t0-T/2 bis t0+T/2.

Betrag:
Für den Betrag von X(f) fällt der Teil mit dem e weg (da =1) und ich erhalte:
, also eine Si-Funktion mit dem Maximalwert T (bei f=0) und den Nullstellen -1/T, -2/T, ... und 1/T, 2/T, ... . Die sonst negativen Teile werden durch den Betrag nach oben geklappt.

Realteil:
.

Imaginärteil:
.

Phase:
Die Phase kann ich über den arctan(Im/Re) bestimmen, dabei kürzt sich T si(Pi f T) heraus und es bleibt sin/cos übrig:
.

Nun würde ich annehmen, dass der Betrag eine Gerade ist, die "Unbekannte" wäre hier das f, da ich die Funktion ja im Frequenzbereich zeichnen möchte.
Laut Lösung gilt das aber nicht für den kompletten Frequenzbereich, sondern nur für die Intervalle, in denen die Si-Funktion sowieso positiv wäre (ohne Betrag). Die Geradengleichung gilt also stückweise z.B. für folgende Bereiche von f:
..., (-5/T)...(-4/T), (-3/T)...(-2/T), (-1/T)...(1/T), (2/T)...(3/T), (4/T)...(5/T), ...
Dementsprechend gilt sie z.B. für folgende f nicht:
..., (-2/T)...(-1/T), (1/T)...(2/T), ...
Dort ist die Gerade für negative f um Pi nach unten bzw. für positive f um Pi nach oben verschoben, sodass ich eine verzerrte Rechteckfunktion für den Betrag erhalte, die für negative f nach unten geklappte Rechteckimpulse und für positive f nach oben geklappte Rechteckimpulse an den o.g. Stellen hat (dort wo die Geradengleichung nicht gilt).

Leider verstehe ich nicht, warum der Betrag eine solche Form hat bzw. wieso er an den genannten Stellen um den Wert Pi verschoben ist.

Bei Bedarf kann ich gerne noch eine Skizze anfertigen.
svloga Auf diesen Beitrag antworten »

Hat sich erledigt, habe nicht an die Gültigkeitsgrenzen vom arctan gedacht. Dadurch entstehen dann die Phasensprünge an den o.g. Übergängen bzw Stellen.

Vielleichts hilft ja irgendwann mal wem, danke trotzdem an die Leser die sich vielleicht den Kopf zerbrochen haben smile
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