Beschränktheit von Vereinigungsmenge beschränkter Mengen

30.10.2016, 10:54	Tricel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit von Vereinigungsmenge beschränkter Mengen Meine Frage: Hallo Ich bin noch am Anfang meines Physikstudiums und hänge derzeit in Mathe. In einer Aufgabe soll ich zeigen, dass die Vereinungsmenge der beschränkten Mengen bis wieder beschränkt ist und das Supremum berechnen. Das wäre mein erster Beweis, der mal nicht nur durch Gleichungen funktioniert und dadurch fällt er mir vielleicht so schwer? Meine Ideen: Inhatlich habe ich mir gedacht, dass ich eine Menge bilde, die alle Suprema der Mengen $\begin{eqnarray} A_{1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} A_{n} \end{eqnarray}$ enthält. Dann könnte ich ja von dieser wieder das Maximum bzw Supremum zeigen. Nur hatten wir in der Analysis noch kein Beweis, dass wenn die Menge endlich ist, sie nach oben beschränkt ist. "Mathematisch"( Ich weis wirklich nicht, ob das so korrekt ist) habe ich bisher das: Seien $\begin{eqnarray} A_{1} \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} A_{n} \end{eqnarray}$ nach oben beschränkt, nicht leere Teilmengen der reellen Zahlen. Dann existiert für jedes $\begin{eqnarray} A_{1} \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} A_{n} \end{eqnarray}$ ein Supremum $\begin{eqnarray} s_{k} = SupA_{k} < \infty \end{eqnarray}$ für k=1,...,n. Dann sei $\begin{eqnarray} S = {s_{1},...,s_{n}} \end{eqnarray}$ die Menge aller Suprema von $\begin{eqnarray} A_{1} bis A_{n} \end{eqnarray}$ . S ist Menge aus endlich vielen Zahlen => Es existiert ein Maximum max S:=s. Sei A: $\begin{eqnarray} \bigcup \end{eqnarray}$ A_k von k=1 bis n ( Habe das Zeichen nicht gefunden )=> Für alle a Element A: a <= s und somit ist s obere Schranke von A => ist nach oben beschränkt. Ich hoffe das ist so einigermaßen verständlich und ihr könnt mir helfen.
30.10.2016, 18:42	Phanta	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit von Vereinigungsmenge beschränkter Mengen Ist die Vereinigung abzählbar unendlich oder endlich?
30.10.2016, 19:58	Tricel	Auf diesen Beitrag antworten »
endlich
30.10.2016, 21:31	Phanta	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist das in Ordnung. Du hast allerdings nur bewiesen, dass die Vereinigung A beschränkt ist.

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