Kinozuschauer anordnen

30.10.2016, 11:58

alexandro0

Kinozuschauer anordnen

Hallo ihr Lieben,

das ist mein erster Eintrag hier und seid nicht ganz so streng mit mir. smile

Es handelt sich hierbei um eine eher simple Aufgabe und ich möchte einfach eine Bestätigung zu meinem Ergebnis haben.

Die Aufgabenstellung lautet:
Ein Kino besitzt 400 Plätze. Es werden 200 Gäste erwartet. 50 dieser Gäste haben die Einschränkung, dass sie nur auf einem der vorderen 100 Plätze sitzen dürfen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es die Zuschauer anzuordnen?

Lösung:
Ich habe das als verschachteltes Experiment angesehen. Die 50 Leute auf die vorderen Plätze zu verteilen, würde $\begin{eqnarray*} \frac{100!}{50!} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten ergeben. Dann blieben noch 150 Leute übrig und 350 Plätze.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{n!}{(n-r)!} \Rightarrow \frac{350!}{200!} \end{eqnarray*}$
Und da es ein verschachteltes Experiment ist, multipliziert man nun diese beiden Sachverhalte.
$\begin{eqnarray*} \frac{350!}{200!} \cdot \frac{100!}{50!} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Vielen dank schonmal für eure Mühe

04.11.2016, 12:57

klauss

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RE: Binomialverteilung( Einfache Aufgabe )
Ich würde so rangehen:
Wir haben 2 Blöcke von Sitzplätzen, einen à 100 und einen à 300. Von den vorderen 100 sind auf jeden Fall 50 mit den eingeschränkten Personen besetzt.
Die restlichen 150 Personen können nun entweder alle im 300er Block sitzen oder man wählt aus diesen noch 1, 2, 3, ... bis maximal 50 aus, die den vorderen 100er Block auffüllen.
Wenn ich alle diese Fälle bedenke, erhalte ich:
1) vorne nur 50, hinten 150
Anzahl der Möglichkeiten: $\begin{align*} \frac{100!}{50!}\cdot \frac{300!}{150!} \end{align*}$
2) vorne 50 + 1, hinten 150 - 1
Anzahl der Möglichkeiten: $\begin{align*} \begin{pmatrix} 150 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{100!}{49!}\cdot \frac{300!}{151!} \end{align*}$
3) vorne 50 + 2, hinten 150 - 2
Anzahl der Möglichkeiten: $\begin{align*} \begin{pmatrix} 150 \\ 2 \end{pmatrix} \frac{100!}{48!}\cdot \frac{300!}{152!} \end{align*}$
usw. bis 50 + 50 / 150 - 50
Da diese Anordnungen alle disjunkt sind, komme ich letztlich für die Anzahl aller Möglichkeiten auf die Formel
$\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{50} \begin{pmatrix} 150 \\ k \end{pmatrix}\frac{100!300!}{(50-k)!(150+k)!} \end{align*}$
Das ist nun nicht mehr einfach, aber ich glaube, Du hast wesentliche Möglichkeiten außer Acht gelassen, so etwa, dass die eingeschränkten Personen auf den vorderen 100 Plätzen frei permutieren können, allein oder mit anderen aus der 150er-Gruppe.
Bitte Korrektur.

04.11.2016, 13:23

HAL 9000

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Kurzes Fazit: Beide Lösungen sind richtig, und führen auch auf denselben Wert.

Zitat:

Original von klauss
Das ist nun nicht mehr einfach, aber ich glaube, Du hast wesentliche Möglichkeiten außer Acht gelassen, so etwa, dass die eingeschränkten Personen auf den vorderen 100 Plätzen frei permutieren können

Hat er nicht.

---------------------------------------

In der vom hypergeometrischen Modell bekannten Situation gilt

$\begin{align*} \binom{N}{n} = \sum_{k=\max(0,M-N+n)}^{\min(n,M)} \binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k} \end{align*}$ .

Wenden wir das hier auf $\begin{align*} N=350,M=50,n=150 \end{align*}$ an, so folgt

$\begin{align*} \binom{350}{150} = \sum_{k=0}^{50} \binom{50}{k} \binom{300}{150-k} \end{align*}$

in Fakultäten geschrieben

$\begin{align*} \frac{350!}{150!\cdot 200!} = \sum_{k=0}^{50} \frac{50!\cdot 300!}{k!\cdot (50-k)!\cdot (150-k)!\cdot (150+k)!} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{350!}{150!\cdot 200!} = \sum_{k=0}^{50} \binom{150}{k} \frac{50!\cdot 300!}{150!\cdot (50-k)!\cdot (150+k)!} \end{align*}$ .

Jetzt noch mit $\begin{align*} \frac{150!\cdot 100!}{50!} \end{align*}$ multipliziert ergibt sich die Identität

$\begin{align*} \frac{100!\cdot 350!}{50!\cdot 200!} = \sum_{k=0}^{50} \binom{150}{k} \frac{100!\cdot 300!}{(50-k)!\cdot (150+k)!} \end{align*}$ .

04.11.2016, 14:55

klauss

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Danke.

Zitat:

Original von HAL 9000
Kurzes Fazit: Beide Lösungen sind richtig

Das freut mich schon.

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