Mittels Primfaktorzerlegung zeigen ..

30.10.2016, 14:20

Nilow

Mittels Primfaktorzerlegung zeigen ..

Meine Frage:
Hallo,
ich stehe vor einer Aufgabe die ich nicht lösen kann.
Ich soll mittels Primfaktorzerlegung zeigen, dass

(a | (b · c) und ggT(a, c) = 1) ? a | b

gilt. Ich sitze schon etwas länger vor der Aufgabe und hab keine Ahnung wie das geht.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Meine Ideen:
Ich hab ein bisschen rumprobiert und bin darauf gekommen, dass der ggt zwischen a und c nach aufgabenstellung 1 ist. Wenn ich nun den ggt mittels primfaktorzerlegung bilde gibt es keine gemeinsamen primfaktoren und damit ist der ggt 1. nun gilt für a | b * c eignetlich auch a | b, da ja b*c in dem fall nur ein vielfachen von b ist ... aber ich weiß nicht wie ich das jetzt logisch zeigen kann

30.10.2016, 15:22

allahahbarpingok

Auf diesen Beitrag antworten »

hier steht Mist

Zunächst bedeutet der ggt(a,c) = 1, dass der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen die 1 ist. Das heißt insbesondere, dass a und c beide Primzahlen sein müssen.

Es muss doch gelten $\begin{eqnarray*} \frac{b \cdot c}{a} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

a,c sind Primzahlen und haben keinen gemeinsamen Teiler. Diese können also nicht durcheinander geteilt werden, so dass eine natürliche Zahl rauskommt. Welche Möglichkeit besteht jetzt, dass der Obige Term eine natürliche Zahl abwirft?

Naja nach einer kleinen Umformung: $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \cdot c \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sieht man es sofort. c ist bereits eine natürliche Zahl. Es muss auch $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl sein. (Denn nur das Produkt aus 2 natürlichen Zahlen ergibt wieder eine natürliche Zahl). Daraus folgt $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ .

30.10.2016, 15:41

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Da sind leider mehrere Fehler drin:

Zitat:

Original von allahahbarpingok
Zunächst bedeutet der ggt(a,c) = 1, dass der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen die 1 ist. Das heißt insbesondere, dass a und c beide Primzahlen sein müssen.

Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(4,9)=1 \end{eqnarray*}$ , aber weder 4 noch 9 sind Primzahlen.
Es gibt die Bezeichnung "relativ prim" für zwei Zahlen, deren ggT 1 ist; aber das nichts damit zu tun, dass eine der Zahlen prim ist.

Zitat:

Original von allahahbarpingok
Denn nur das Produkt aus 2 natürlichen Zahlen ergibt wieder eine natürliche Zahl.

Was ist denn z.B. mit $\begin{eqnarray*} 4\cdot \frac 12=2 \end{eqnarray*}$ ?

Außerdem würde ich bei solchen Beweisen mit Divisionen vorsichtig sein. In der elementaren Zahlentheorie arbeitet man meistens im Ring der ganzen Zahlen, da ist eine Division überhaupt nicht definiert. Man braucht hier auch gar nicht über diesen Zahlenbereich hinaus gehen.

Vorschlag: $\begin{eqnarray*} a\mid (b\cdot c) \end{eqnarray*}$ bedeutet: Es existiert ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} k\cdot a=b\cdot c \end{eqnarray*}$ .

Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung müssen die Zerlegungen von $\begin{eqnarray*} k\cdot a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\cdot c \end{eqnarray*}$ übereinstimmen.
Es muss also insbesondere jeder Primfaktor, der in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ enthalten ist, in $\begin{eqnarray*} b\cdot c \end{eqnarray*}$ enthalten sein (mit der jeweiligen Vielfachheit).
Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,c)=1 \end{eqnarray*}$ ...

30.10.2016, 15:56

allahahbarpingok

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich bin falsch

Neue Frage »

Antworten »

Mittels Primfaktorzerlegung zeigen ..

Verwandte Themen