Integralberechnung

30.10.2016, 15:52

leodavinci

Integralberechnung

Meine Frage:
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Meine Ideen:
Meine ersten Gedanken:

$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \! \int_{y=0}^{1} \! x^ny \, dy \, dx =\int_{x=0}^{1} \! \left[\frac{1}{2}x^ny^2\right]_{y=0}^{1} \, dx =\int_{x=0}^{1} \! \frac{1}{2}x^n \, dx =\left[\frac{x^{n+1}}{2n+2}\right]_{x=0}^{1} =\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Stimmen diese Überlegungen?

30.10.2016, 15:55

10001000Nick1

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Es geht gar nicht um das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \! \int_{y=0}^{1} \! x^ny \, dy \, dx \end{eqnarray*}$ .

Skizziere dir mal die Menge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

30.10.2016, 16:13

leodavinci

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Integralrechnung
Die Menge D ist ein gleichschenkliges Dreieck, wobei beide Schenkel parallel zu den Achsen (x,y) liegen. Jetzt versteh ich aber das Problem nicht!

30.10.2016, 16:17

10001000Nick1

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Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} x^ny \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ integrierst, würde das ja bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ auf dem ganzen Quadrat $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} x^ny \end{eqnarray*}$ ist.
Das ist aber nicht so; $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist außerhalb dieses Dreiecks gleich 0.

Du musst also die Integrationsgrenzen noch anpassen.

30.10.2016, 16:30

leodavinci

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Integralrechnung
Ach, na klar. Ich muss dann quasi meine y Koordinate in Abhängigkeit von x bestimmen.

Stimmt dann folgendes?

$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \! \int_{y=0}^{x} \! x^ny \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

30.10.2016, 16:32

10001000Nick1

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Nicht ganz. Schau dir nochmal die obere Grenze des y-Integrals an.

30.10.2016, 16:34

leodavinci

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Integralrechnung
$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \! \int_{y=x}^{0} \! x^ny \, dy \, dx \end{eqnarray*}$
?

30.10.2016, 16:43

leodavinci

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RE: Integralrechnung
Oder doch so:
$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \! \int_{y=0}^{1-x} \! x^ny \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

30.10.2016, 16:46

10001000Nick1

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RE: Integralrechnung

Zitat:

Original von leodavinci
Oder doch so:
$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \! \int_{y=0}^{1-x} \! x^ny \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

Da wäre ich auch dafür. Wie du auf deinen vorherigen Vorschlag kommst, weißt wohl nur du selbst. Augenzwinkern

30.10.2016, 16:59

leodavinci

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RE: Integralrechnung
Dann also so:
$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \! \int_{y=0}^{1-x} \! x^ny \, dy \, dx =\int_{0}^{1} \! \left[\frac{1}{2}x^ny^2\right]_{0}^{1-x} \, dx =\int_{0}^{1} \! \frac{1}{2}x^n-x^{n+1}+\frac{1}{2}x^{n+1} \, dx =\left[\frac{1}{2n+2}x^{n+1}\right]_{0}^{1} - \left[\frac{1}{n+2}x^{n+2}\right]_{0}^{1} +\left[\frac{1}{2n+4}x^{n+2}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2n+4} \end{eqnarray*}$

30.10.2016, 17:13

10001000Nick1

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In der dritten Zeile muss der dritte Summand im Integral $\begin{eqnarray*} \frac12 x^{n+2} \end{eqnarray*}$ lauten.

Übrigens setzt man gewöhnlich um Summen im Integranden eine Klammer.

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