Parallelogramm? |
| 30.08.2004, 12:56 | Der Beweis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Parallelogramm? Wie kann ich beweisen, dass AECP ein Parallelogramm ist? Danke schonmal! |
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| 30.08.2004, 13:28 | MisterSeaman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Meinst Du so? |
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| 30.08.2004, 15:13 | Der Beweis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
jo |
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| 30.08.2004, 19:31 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Verschoben |
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| 31.08.2004, 12:39 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Verlängerst du AP zum Schnittpunkt P' mit dem ersten Kreis, so entsteht mit P'PCD sogar ein gleichschenkliges Trapez (Bild MisterSeaman) 
Beweis folgt ----------------------------------------------------EDIT--------------------------------------------------- aktuell . \\EDIT by sommer87: Bitte EDIT nutzen! |
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| 31.08.2004, 14:14 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das ist eine Aufgabe des laufenden BW Mathe 2004, Runde 2! Nicht vor dem 02.09.2004 antworten!!! |
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| 31.08.2004, 14:29 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ooh, das war knapp, da hat er aber Pech gehabt. :-oo 'Gerade' wollt ich den Beweis posten ... Nu stell ich das natürlich zurück 
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| 31.08.2004, 14:48 | MisterSeaman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hatte mich schon gewundert... Das fand ich nämlich gar nicht so trivial, wie es auf den ersten Blick aussieht! :P Aber mal im Ernst: Fair geht vor! |
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| 31.08.2004, 21:30 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
:-) Ich werde am 2. auch meine Lösung präsentieren, hoffentlich ist sie richtig 
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| 31.08.2004, 21:43 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
meine IST richtig, 100 pro
mach 'ne Uhrzeit fest, posten wir sie zugleich
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| 31.08.2004, 21:45 | MisterSeaman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Na da bin ich mal gespannt... Vielleicht fällt mir bis da ja auch noch eine ein.
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| 01.09.2004, 19:05 | Der Betrüger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Naa...hätte ja klappen können...hatte zu wenig zeit, alle Aufgaben zu bearbeiten, bei den drei anderen bin ich mir ja relativ sicher^^ wie wär's, wenn wir alle Lösungen online stellen, um zu vergleichen? Ja, morgen erst, ich weiß... aber das Postbüro hat auch 5 Minuten, nachdem ich da war, geschlossen *g* |
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| 01.09.2004, 22:11 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Bew.: PAEC Parallelogramm, dazu zeige ich Winkel DCP + Winkel CPA = 180°, sowie y : = Winkel ACP, ist gleich dem Winkel CAE Zum besseren Verständnis sollte man sich die Winkelbezeichnungen in einer eigenen Skizze in entspr. Buchstaben ummoddeln. Bezugnehmend auf 'Bild' von MisterSeaman bzw die Eingangspost. Winkel y ist Umfangswinkel über der Sehne AP und damit gleich dem Winkel im Punkt A gebildet zw. Tangente DA und der Sehne AP (Anmerkung, Konstruktion Umfangswinkelkreis) Nun gilt y + W.PAC + W.CPA = 180° ( Winkelsumme in Drk. ACP) andererseits y + W.PAC + W.CAD = 180° (Winkel an Gerade DA) somit W.CPA = W.CAD . . . 1) Nun noch W.ADE = y Winkel ADE ist Umfangswinkel über Sehne EA und damit gleich dem Winkel CAE., weil CA Tangente in A und AE die zu W.ADE zu- gehörige Sehne ist. (genau wie oben, siehe Anmerkung) W.ADE = W.CAE . . . . 2) Nun ist W.ABP + W.DBA + W.EBD = 180° (Winkel an Gerade EP) zugleich W.ADE + W.DEA + W.EAD = 180° (Wsumme Drk. DEA) wegen W.DBA = W.DEA (Umfangswinkel über AD) und W.EBD = W.EAD ( Umfangswinkel über DE) folgt W.ADE = W.ABP Wegen W.ABP = y (Winkel über Sehne AP) folgt damit W.ADE = y . . . 3) Wegen W.ADE = W.CAE (2) ist W.CAE = y und damit AE parallel CP (gl. Wechselwinkel an AC) W.DCP + W.CPA = W.DCA + y + W.CPA = (wegen 3 und 1) W.DCA + W.ADC + W.CAD = 180° (Wsumme Drk. DCA) und damit ist DC parallel AP ----------------------------------------- Anmerkung : 'Konstruktion Umfangwinkelkreis' Sehne XY K.mittelpunkt M Wegen UmfW(XY) = 1/2 * W.YMX folgt UmfW(XY) + W.MXY = 90° und damit weil Tangente in X senkrecht auf XM steht, dass Winkel zw. Tangente und Sehne = UmfW(XY). Auf diesem Zusammenhang beruht die Konstruktion eines Fasskreises zu vorgegebener Sehne und Fasswinkel. |
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| 01.09.2004, 22:24 | MisterSeaman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Sieht gut aus Poff. Hab's mir noch nicht ganz genau angeschaut, aber wird wohl alles richtig sein. Auf die 180° hätte ich auch mal kommen können... 
Naja, erstmal ein :] unter Vorbehalt
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| 01.09.2004, 22:38 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Kannst ja mal die 'Zusatzfrage' beantworten, warum ensteht wenn man PA verlängert zum Schnittpunkt P' mit dem anderen Kreis, ein gleichschenkliges Trapez DCPP'
'Vorbehalt' will ich überhört haben .
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| 02.09.2004, 10:04 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Mein Beweis sieht ähnlich aus, man kann leicht mit dem Umfangswinkelsatz und dem Sehnen-Tangentenwinkelsatz zeigen, dass einander gegenüberliegende Winkel gleich weit sind. |
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| 02.09.2004, 10:56 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das verstehe ich nicht.
Das stimmt wohl nicht. Vielmehr ergänzen diese Winkel sich zu 180°. ist Umfangswinkel bzw. Sehnen-Tangenten-Winkel zur Sehne AP im rechten Kreis. ist Umfangswinkel bzw. Sehnen-Tangenten-Winkel zur Sehne AC im rechten Kreis. ist Umfangswinkel bzw. Sehnen-Tangenten-Winkel zur Sehne AD im linken Kreis. ist Umfangswinkel bzw. Sehnen-Tangenten-Winkel zur Sehne AE im linken Kreis. Im Viereck AECP sind nach (1) die Winkel bei E und P gleich groß. Wegen (2) und der Winkelsumme in den Dreiecken APC und ACE sind aber auch die Winkel bei A und C gleich groß. Somit ist AECP ein Parallelogramm. (Diesen Beweis habe ich aus eigenen Überlegungen und Poffs Beweis zusammengebaut.) |
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| 02.09.2004, 12:13 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
... das sind DREI nebeneinnander liegende Winkel mit dem gemeinsamen Scheitel B, eröffnend mit Halbgerade BP und schließend mit Halbgerade BE, also Gerade EP bildend, und damit zusammen 180° :-oo (Gesamtwinkel über einem beliebigen Punkt auf einer Geraden)
W.EBD ist FassWinkel über Sehne DE im großen Kreis W.EAD ist ebenfalls FassWinkel über Sehne DE im großen Kreis beide auf der GLEICHEN Seite der Sehne und damit W.EBD =W.EAD :-oo beides Bild MisterSeaman !!
und diese Konstellation WIRD REAL erreicht bei dir Leopold liegen E und B von innen nach außen vertauscht !! |
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| 02.09.2004, 12:45 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich habe noch eine nette andere Geometrie-Aufgabe: Gegeben sei ein Dreieck ABC, in dessen Innern so ein Punkt P liege, dass die drei Winkel <BAP, <CBP und <ACP alle die Größe 30° haben. Man beweise, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. Wollen wir einen Zeitpunkt ausmachen an dem alle ihre Lösungen posten? |
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