Matrix durch Eigenwerte dividieren

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Lara_mag_Chemie Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix durch Eigenwerte dividieren
Hallo

Gegeben sei eine quadratische Matix mit Koeffizienten aus . Für diese Matrix berechnet man nun die zugehörigen Eigenwerte. Ich würde gerne wissen welche mathematische Bedeutung es hat, wenn die Matrix durch einen Eigenwert dividiert wird. Insbesondere durch den Größten, sowie durch den Kleinsten.

Um das zu vertiefen:

Ich habe es an der Uni derzeit mit Graphen zu tun und deren Adjazenzmatrizen, worum es mir geht. Nun gibt es verschiedene Funktionen in welche ich diese Matix hinein stecke. Die meisten dieser sind nicht linear, sondern Funktionen wie Tangenshyperbolicus oder Sigmoid Funktionen. In der Literatur lese ich immer wieder, dass man gerne eine linare Funktion verwendet, weil damit viele Berechnungen analytisch durchführbar seinen. Die lineare Funktion hat aber den Nachteil, das diese keinen beschränkten Wertebereich hat, so dass bei n-facher Anwendung der Funktion die Koeffizienten der Adjazenzmatix größer, und größer und größer werden würden. Weiter heisst es oft, dass man deswegen die Matrix durch ihren größten Eigenwert dividiert.

Das die Koeffizienten damit wieder kleiner werden ist trivial, aber wieso durch den größten Eigenwert dividieen? Welche Bedeutung steckt dahinter?

Danke und Grüße
Lara
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Abbildungsmatrix verändert i.A. die Richtung und den Betrag eines Vektors. Der Quotient aus dem Bild-Betrag und dem Urbild-Betrag gibt den "Streckungsfaktor" des jeweiligen Urbildvektors an. Offenbar ist der größte Eigenwert der größte "Streckungsfaktor" der Abbildungsmatrix A.

Mit anderen Worten:

Wenn der betragsmäßig größte Eigenwert ist, dann kann der Vektor nicht länger als der Vektor werden.
Lara_mag_Chemie Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mir sehr geholfen. Danke smile
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