Konvergenz, Folge,Teilfolge, Teil(teil)folge

31.10.2016, 20:14

ksgfan

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Konvergenz, Folge,Teilfolge, Teil(teil)folge

Hallo Zusammen,

(Aufgabe im Anhang)

Könnt ihr bitte kontrollieren, ob es Sinn macht?

Beweis:

Zum Zeigen: | $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ -L|<epsilon

Ich weiss,dass: |(ankh)-L|<epsilon
Eine Folge ist auch Teilfolge von sich selbst. Nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_h}}) \end{eqnarray*}$ , dann:
| $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_h}}) \end{eqnarray*}$ -L| = | $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ -L|<epsilon , das heisst $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen L.

Nehmen wir jetzt an, dass $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ nicht gegen L konvergiert. Das bedeutet, es existiert eine Teilfolge (ank), die nicht gegen L konvergiert. Das ist aber Widerspruch da:
| $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_h}}) \end{eqnarray*}$ -L| = | $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ -L|<epsilon

=> $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen L.

Liebe Grüsse
David

Latex korrigiert. Guppi12

31.10.2016, 20:19

Guppi12

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Hallo,

es wird nicht möglich sein, deinen Beweis zu kontrollieren, wenn du dir nicht etwas mehr Mühe bei der Ausformulierung gibst.

In der Formulierung der Aufgabe mag von Teilfolgen $\begin{eqnarray*} (a_{n_k})_k \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_h}})_h \end{eqnarray*}$ die Rede sein. Dies führt diese Teilfolgen aber nicht als verwendbare Objekte im Beweis ein. Wenn du von irgendwelchen Folgen sprichst, musst du sie vorher definieren, es ist sonst unmöglich, zu verstehen, was du meinst.

Im Moment kann ich daher deine Frage

Zitat:

Könnt ihr bitte kontrollieren, ob es Sinn macht?

nur ganz klar mit Nein beantworten.

31.10.2016, 20:34

ksgfan

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RE: Konvergenz, Folge,Teilfolge, Teil(teil)folge

Zitat:

Original von ksgfan
Hallo Zusammen,

(Aufgabe im Anhang)

Könnt ihr bitte kontrollieren, ob es Sinn macht?

Beweis:

Zum Zeigen: | $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ - L|<epsilon

Ich weiss,dass: | $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ - L|<epsilon
Eine Folge ist auch Teilfolge von sich selbst. Nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ , dann:
| $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ - L| = | $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ -L |<epsilon , das heisst $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen L.

Nehmen wir jetzt an, dass $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ nicht gegen L konvergiert. Das bedeutet, es existiert eine Teilfolge (ank), die nicht gegen L konvergiert. Das ist aber Widerspruch da:
| $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ - L| = | $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ - L|<epsilon

=> $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen L.

Liebe Grüsse
David

Sorry, ich hoffe jetzt ist es besser.

David

31.10.2016, 21:19

Guppi12

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Es ist nun zwar besser lesbar, aber das ändert leider nichts an dem Kritikpunkt, den ich gebracht habe, nämlich:

Zitat:

In der Formulierung der Aufgabe mag von Teilfolgen $\begin{eqnarray*} (a_{n_k})_k \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_h}})_h \end{eqnarray*}$ die Rede sein. Dies führt diese Teilfolgen aber nicht als verwendbare Objekte im Beweis ein. Wenn du von irgendwelchen Folgen sprichst, musst du sie vorher definieren, es ist sonst unmöglich, zu verstehen, was du meinst.

Das fängt sofort am Anfang schon an:

Gut, das "Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ " sei mal geschenkt, das kann man sich denken (es fehlt trotzdem).
Dann aber geht es los. Du definierst weder, was $\begin{eqnarray*} a_{n_{k_h}} \end{eqnarray*}$ , noch was $\begin{eqnarray*} a_{n_k} \end{eqnarray*}$ sein soll, noch irgendwas anderes. Du begründest nicht, warum die Annahme

Zitat:

Nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ ,

gerechtfertigt sein sollte.

Weiter unten sprichst du (glaube ich) sogar nochmal von einer anderen Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{n_{k_h}} \end{eqnarray*}$ , von der du wieder nicht sagst, was die eigentlich machen soll.

01.11.2016, 08:45

ksgfan

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Hallo,

ich habe eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ , ihre Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ und Teil(teil)folge $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ . In der Aufgabe ist angegeben, dass: lim $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ = L

Ist es jetzt klarer? Hätte ich das verstehen, hätte ich hier nicht gefragt ...

Inhalt der Aufgabe habe ich jetzt nochmals angehängt.

Liebe Grüsse
David

01.11.2016, 08:53

Guppi12

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Ok, jetzt habe ich das Problem verstanden: Du hast offenbar die Aufgabe ganz böse missverstanden. Durch die Aufgabe hast du weder eine Teilfolge noch eine Teilteilfolge vorgegeben. Die Aufgabe gibt dir nur die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ selbst und sagt dir, dass diese Folge eine gewisse Eigenschaft hat, nämlich: Wann immer du selbst irgendeine Teilfolge auswählst, dann findest du eine Teilteilfolge dieser Teilfolge, die gegen L konvergiert. Das heißt, um diese Eigenschaft benutzen zu können, musst du erstmal selbst eine Teilfolge angeben, es ist keine Teilfolge in irgendeiner Art vorgegebenen.

Möchtest du dich mit diesem Wissen jetzt noch einmal an der Aufgabe versuchen? Noch ein Tipp: ich würde versuchen, das über Widerspruch zu zeigen. Nimm an, die Ausgangsfolge würde nicht gegen L konvergieren.
Konstruiere damit eine Teilfolge, die überall weit von L entfernt bleibt.

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01.11.2016, 14:25

ksgfan

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OK, ich habe versucht:

Zum zeigen:
lim( $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ ) = L , dh Es existiert $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ für alle N s.d l $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ -L l < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n>N

Beweis:

Nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ nicht gegen L konvergiert. Dann kann man eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ finden, die nicht gegen L konvergiert.
Sei $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ sodass:
Es existiert $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ für alle N s.d l $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ -L l > $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n>k>N

Ich weiss aber, dass jede Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ besitzt, die gegen L konvergiert:
Es existiert $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ für alle N s.d l $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ -L l < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n>k>h>N

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge von sich selbst, also :

$\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ , nkh = nk

deswegen muss $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ auch gegen L konvergieren => Widerspruch

Ich hoffe ich habe es jetzt besser verstanden...

Danke noch für Deine Hilfe!

01.11.2016, 22:29

Guppi12

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Irgendwie ergibt das alles nicht so viel Sinn, versuche doch mal genau zu überlegen, wie die einzelnen Schritte logisch begründet werden könnten.

Zitat:

Nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ nicht gegen L konvergiert. Dann kann man eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ finden, die nicht gegen L konvergiert.

Dass das nicht weiter führt, muss dir doch auffallen verwirrt

verwirrt

Die Folge selbst konvergiert bereits nicht gegen L, wozu also noch eine Teilfolge auswählen, die genau die selbe Eigenschaft hat.

Zitat:

Es existiert $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ für alle N s.d l $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ -L l > $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n>k>N

Was soll das denn bedeuten? Was ist hier k, wo kommt das her?

Zitat:

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge von sich selbst, also :
$\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ , nkh = nk

Wieso genau sollte hier $\begin{eqnarray*} (a_{n{_k}}) = (a_{n_{k_{h}}}) \end{eqnarray*}$ gelten? Die Teilteilfolge kannst du dir nicht selbstaussuchen.

Also nochmal ein Schubs in die richtige Richtung. Da $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ nach Annahme nicht gegen $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ konvergiert, existiert $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ und eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (x_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x_{n_k}-L|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Jetzt weiter.

02.11.2016, 17:47

ksgfan

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ad.1 Habe ich nicht fast das gleiche geschrieben?

Da $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ nach Annahme nicht gegen $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ konvergiert, existiert $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ und eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (x_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x_{n_k}-L|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Folge konvergiert nicht gegen L, also es existiert eine Teilfolge die auch nicht gegen L konvergiert.

ad.2. Tippfehler , sollte sein:

Es existiert $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ für alle N s.d l $\begin{eqnarray*} (a_{n_{k}}) \end{eqnarray*}$ -L l > $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n>k>N

ad.3 Jede Folge ist Teilfolge von sich selbst. In der Aufgabe steht: "Falls für JEDE Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Teilteilfolge
$\begin{eqnarray*} (a_{n_k{_h}})_{h\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ existiert ..."

Wie kann ich anders $\begin{eqnarray*} (a_{n_k{_h}})_{h\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ vergleichen? Man sollte hier Widerspruch zeigen, oder?

Lieber Gruss
David

02.11.2016, 18:18

Guppi12

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Zitat:

ad.1 Habe ich nicht fast das gleiche geschrieben?

Nein, das ist was völlig anderes. Eine Teilfolge, die bloß die Eigenschaft hat, dass sie nicht gegen L konvergiert, kann trotzdem zwischendurch mal sehr nah bei L liegen, muss sich nur auch wieder später davon entfernen. Genau das wollen wir aber nicht haben, sonst hätten wir keine Teilfolge wählen brauchen. Wir wollen, dass der Abstand zu L nicht zwischendurch mal klein werden könnte.

Zitat:

ad.3 Jede Folge ist Teilfolge von sich selbst. In der Aufgabe steht: "Falls für JEDE Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_k})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Teilteilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_k{_h}})_{h\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ existiert ..."

Ja, aber du drehst hier komplett den Sinn der Aussage um. Die Aussage kann man sich als Interaktion mit einem "Mathecomputer" vorstellen: Du gibst dem Computer irgendeine Teilfolge. Dieser gibt dir eine Teilteilfolge mit angegebener Eigenschaft zurück. Welche Teilteilfolge er dir genau zurückgibt, kannst du nicht beeinflussen, er muss dir keinesfalls wieder die gleiche Teilfolge zurückgeben, die du angegeben hast, nur weil das eine der vielen Möglichkeiten wäre. Verstehst du? DU suchst die Teilfolge aus, du suchst aber NICHT die Teilteilfolge aus, die zurück kommt. Darüber hast du keinerlei Kontrolle.

Wir haben nun also eine Teilteilfolge $\begin{eqnarray*} (x_{n_{k_h}})_h \end{eqnarray*}$ , unserer konstruierten Folge $\begin{eqnarray*} (x_{n_k})_k \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ konvergiert. Du musst jetzt nur noch den Widerspruch finden.

02.11.2016, 18:40

ksgfan

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Per Definition:
Wenn jede Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb {N} } \end{eqnarray*}$ gegen
a konvergiert, konvergiert $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb {N} } \end{eqnarray*}$ gegen a.

Wäre es schon genug nur das zu schreiben?

02.11.2016, 18:45

Guppi12

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Wieso konvergieren alle Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb {N} } \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ?

(Das ist übrigens keine Definition, sondern ein Satz.)

02.11.2016, 19:00

ksgfan

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Weil eine Folge ihr Konvergenzverhalten und ihren Grenzwert nicht ändert, wenn man endlich viele Folgeglieder streicht . (?)

02.11.2016, 19:06

Guppi12

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Das ist zwar richtig, aber wo genau haben wir denn hier eine Situation, in der endlich viele Folgenglieder gestrichen werden?

02.11.2016, 19:16

ksgfan

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Ich weiss nicht, wie viele Folgeglieder gestrichen werden, aber es sollte egal sein, da die Teilfolge kleiner als ursprüngliche Folge ist, und sich in der ursprünglichen Folge enthält, also verhält sich genau gleich, wenn sie gegen unendlich läuft.

02.11.2016, 23:04

Guppi12

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Meinst du nicht, es hat vielleicht einen Grund, dass dir kein Satz bekannt ist, der besagt: Eine Folge konvergiert immer, wenn es eine Teilfolge gibt, die konvergiert?
Bitte denk dir nicht willkürlich irgendwelche neuen Sätze aus, die nicht stimmen, sondern halte dich an das, was du bereits kennst. Es ist hier wirklich nicht mehr viel zu tun.

Nochmal zusammengefasst:
Wir haben eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (x_{n_k})_k \end{eqnarray*}$ , für die es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} |x_{n_k}-L|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Wir haben weiter eine Teilteilfolge dieser Teilfolge $\begin{eqnarray*} (x_{n_{k_h}})_h \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ konvergiert. Wir suchen einen Widerspruch. Tut mir Leid, aber ich erwarte wirklich, dass du diesen Schritt selbst hinbekommst.

03.11.2016, 09:22

ksgfan

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$\begin{eqnarray*} |x_{n_k}-L|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

also ich finde unendlich viele k ausserhalb der Epsilonumgebung

$\begin{eqnarray*} |x_{n_{k{_1}}}-L|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x_{n_{k{_2}}}-L|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x_{n_{k{_3}}}-L|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x_{n_{k{_h}}}-L|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$ => Widerspruch

03.11.2016, 09:52

Guppi12

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Idee richtig, es fehlt aber noch eine kurze Erwähnung, wo da jetzt genau der Widerspruch ist.

03.11.2016, 10:15

ksgfan

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Widerspruch zu der Annahme, dass jede Teilteilfolge gegen L konvergiert :

$\begin{eqnarray*} |x_{n_{k_h}}-L|< \epsilon \end{eqnarray*}$

03.11.2016, 10:41

Guppi12

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Du meinst das richtige, sagst aber immerzu das falsche. Es konvergiert nicht jede Teilfolge gegen L (zumindest haben wir das noch nicht gezeigt) unsere spezielle Teilteilfolge tut es aber.

03.11.2016, 10:45

ksgfan

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hmm, also Widerspruch zu der Annahme, dass EINE Teilteilfolge gegen L konvergiert ?

03.11.2016, 15:16

Guppi12

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Es sieht für mich so aus, als ratest du nur ins Blaue hinein. Ob du nun verstanden hast, warum das ein Widerspruch ist oder nicht, kann ich nicht sagen. Wenn du dir noch unsicher bist, führe es noch aus, wieso das genau ein Widerspruch ist.

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