Quotientenraum V/V

31.10.2016, 22:05	James11235	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenraum V/V Die Dimension eines Q.R V/W ist ja Dim.V-Dim.W. Dies heisst ja das Dim. V/V 0 ist. Ich versteje das nicht, der Q Raum V/V enthaelt ja das Element V.
31.10.2016, 22:07	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Und es gilt V=0. Und V/V={0}
31.10.2016, 22:09	James11235	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso gilt V=0?
31.10.2016, 22:11	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil V+V=V. Oder was soll sonst das Nullelement im Vektorraum V/V sein?
31.10.2016, 22:12	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es geht hier ja eigentlich nicht um Quotientenräume, sondern darum, was die Dimension des Nullvektorraumes ist, denn V ist ja schließlich das Nullelement des Vektorraumes V/V. Man kann sich also ganz allgemein fragen, welche Dimension dieser Vektorraum hat, losgelöst von der Quotientenstruktur. Man muss sich hierfür klarmachen, dass die leere Menge eine Basis für diesen Vektorraum ist. Es mag vielleicht am Anfang erstaunlich klingen, wie man das Element des Nullvektorraums, den Vektor $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , als Linearkombination darstellen soll, wenn man dafür garnichts zur Verfügung hat. Die Antwort darauf ist die leere Summe. Nach Konvention ist eine Summe, in der überhauptkeine Summanden stehen, das neutrale Element der Operation bezüglich der die Summe gebildet wird, hier also das Nullelement. Vielleicht noch ein anderer Gedanke: Man mag vielleicht versucht sein, zu denken, dass $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ eine Basis des Nullraums ist. Das ist aber falsch, denn wie man leicht nachrechnet, ist diese Menge nicht linear unabhängig. Edit: Bin raus.
31.10.2016, 22:12	James11235	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, jetzt hats geklickt. Danke!
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31.10.2016, 23:12	James11235	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ne Frage..Also sei V die Menge der 2x2 Matrizen mit Einträgen in R. Und W der Unterraum aller 2x2 Matrizen für die gilt A=A^T. Nun betrachten wir den Quotientenraum V/W. Mir ist klar dass dieser Quotientaum gleichmächtig ist wie R und die Dimention 1 haben muss. Ich habe Mühe mir eine Basis für diese Menge konkret vorzustellen.
01.11.2016, 09:17	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, was hat die Dimensionsfrage mit der Mächtigkeit zu tun? V selbst ist auch gleichmächtig zu R. Wenn du eine Basis (v1,v2,v3,v4) von V hast und (v1,v2,v3) ist eine Basis von W, so ist (v4+W) eine Basis von V/W. Auf diese Weise kannst du eine Basis konstruieren.

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