Abbildung

01.11.2016, 12:37

Einstein1879

Abbildung

Hallo,

gegeben ist die folgende Abbildung:

$\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A,A_{1},A_{2} \subset X \end{eqnarray*}$

Ich soll nun allgemein beweisen oder durch ein Beispiel widerlegen, das gilt:

$\begin{eqnarray*} f(A_{1} \cup A_{2})=f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A_{1} \cap A_{2})=f(A_{1}) \cap f(A_{2}) \end{eqnarray*}$

Meine Überlegungen:

Für die erste Aussage habe ich mir zwei Beispiele überlegt und durchgerechnet, mit denen ich die Aussage bejahen kann. Aber wie zeigt (beweist) man die Aussage allgemein?

01.11.2016, 13:13

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildung

Zitat:

Original von Einstein1879
Aber wie zeigt (beweist) man die Aussage allgemein?

Mengengleichheit zeigt man meistens, indem man beide Inklusionen beweist, also dass $\begin{eqnarray*} f(A_{1} \cup A_{2}) \subset f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \subset f(A_{1} \cup A_{2}) \end{eqnarray*}$ gilt.

Beginnen wir mal mit der ersten, also $\begin{eqnarray*} f(A_{1} \cup A_{2}) \subset f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \end{eqnarray*}$ :
Sei $\begin{eqnarray*} x \in f(A_{1} \cup A_{2}) \end{eqnarray*}$ . Nutze nun die Eigenschaften der Bildmenge und der Vereinigung aus. (Am Ende ist hier nun zu zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} x \in f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \end{eqnarray*}$ ist.)

01.11.2016, 14:10

Einstein1879

Auf diesen Beitrag antworten »

@magic_hero:

die dazu passenden Eigenschaften wären doch

$\begin{eqnarray*} A_{1} \subseteq A_{2} \Rightarrow f(A_{1}) \subseteq f(A_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{1} \subseteq A_{1} \cup A_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{2} \subseteq A_{1} \cup A_{2} \end{eqnarray*}$

oder?

01.11.2016, 19:28

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Einstein1879
oder?

Nein.

Was ich meinte, waren die Definitionen der genannten Begriffe. Ich schreibe sie hier mal allgemein auf:

1. Sei $\begin{eqnarray*} f \colon X \to Y \end{eqnarray*}$ eine Funktion (wobei $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ Mengen seien) und $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ . Dann ist das Bild von A unter f definiert als $\begin{eqnarray*} f(A):= \{ f(x) ~ | ~ x \in A \} \end{eqnarray*}$ . Um das für hier passend auszudrücken: Gilt $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ , so existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ . Diese Situation liegt hier in unserer Aufgabe vor, natürlich mit veränderten Rollen von $\begin{eqnarray*} x,y,A \end{eqnarray*}$ .

2. Seien $\begin{eqnarray*} A_1,A_2 \end{eqnarray*}$ beliebige Mengen. Dann gilt $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \cup A_2 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in A_2 \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Abbildung

Verwandte Themen