Stetige Funktionen |
| 01.11.2016, 12:42 | Häggurr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stetige Funktionen Hi zusammen ich habe hier Folgende Fragestellung. Es Sei (X,d) ein metrischer Raum und T:X -> X eine Abbildung mit d(T(x),T(y)) < d(x,y) für alle x,y X mit x ungleich y. Zeigen Sie, dass T genau einen Fixpunkt a X hat. Meine Ideen: Ich werde das Ganze wohl irgendwie auf den Banachschen Fixpunktsatz zurückführen müssen, aber ich weiß nicht ganz wie ich da anfgangen soll... |
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| 01.11.2016, 12:59 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, das kannst du nicht beweisen, die Aussage ist falsch. Soll X vielleicht kompakt sein? |
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| 01.11.2016, 13:05 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aussage ist falsch, z.B. hat keinen Fixpunkt. |
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| 01.11.2016, 20:37 | Häggurr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
X ist kompakt, stimmt, hab ich übersehen. |
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| 01.11.2016, 22:34 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dann ist die Aussage richtig. Auf den Banachschen Fixpunktsatz kannst du die Aussage nicht zurückführen, weil die Voraussetzungen dafür nicht erfüllt sind und auch nicht aus dem folgen, was gegeben ist, dafür gibt es Gegenbeispiele. Untersuche stattdessen mal die Funktion auf Minima. |
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| 02.11.2016, 10:27 | Häggurr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, d.h. ich soll zeigen dass 1) genau ein Minimum hat 2) das Minimum ist gegeben durch a und f(a) = d(a, T(a)) = 0, denn T(a) = a richtig? Aber wie zeige ich das? ^^ Mir fehlt so der Ansatz |
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| 02.11.2016, 10:44 | Häggurr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay der 2) Teil ist abgehakt. 
Jetzt fehlt mir nur noch zu zeigen das f ein Minimum besitzt... |
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| 02.11.2016, 11:12 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was weißt du über stetige reellwertige Funktionen auf kompakten Räumen? |
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| 02.11.2016, 11:14 | Häggurr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das einzige wo ich mir noch unsicher bin ist bei folgender Aussage, die relevant ist für meine Argumentation. Sei T(x) = y, Dann ist f(T(x)) = d(T(x), T(T(x)) = d(T(x),T(y)) < d(x,y) Da X kompakt ist kann man nun ein e>0 wählen, sodass f(T(x))= d(T(x),T(y)) < d(x,y) < e gilt. Graph |
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| 02.11.2016, 11:18 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die erste Zeile ist richtig. Was die zweite bringen soll, sehe ich nicht, aber die ist auch richtig. |
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| 02.11.2016, 12:30 | Häggurr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit wollte ich zeigen, dass f gegen null geht. Wenn dann f ein Minimum haben soll muss dieses Minimum ja bei f=0 liegen. weil ja f nicht negativ ist. |
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| 02.11.2016, 16:15 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dieses Vorhaben hast du mit dieser Zeile jedenfalls nicht erreicht.
Das ist relativ nichtssagend. Das , von dem du hier sprichst, könnte zum Beispiel auch sein. Dann bekommst du nur f(T(x)) < 1. Das bringt nicht sehr viel. |
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