Grenzwert

01.11.2016, 18:22

Mathe<3

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Grenzwert

Meine Frage:
Hallo Liebe Mathefreunde,

ich habe eine Frage und zwar habe ich diese Aufgabe(siehe Bild)

Meine Ideen:
Meine Ideen wären:

Ich kann mir vorstellen das, das etwas mit der Geometrischen reihe zu tun haben kann, da für die geometrische Reihe ja gilt |b|<1 aber ohne ein Summenzeichen kann ich dies ja nicht anwenden

01.11.2016, 18:49

Leopold

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Verwende für $\begin{align*} a_n = n^k b^n \end{align*}$ den Hinweis: Setzen Sie aufeinanderfolgende Folgenglieder in Beziehung.

$\begin{align*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \ldots = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^k \cdot |b| \end{align*}$

Was heißt das für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ ? Folgere die Existenz eines $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0 < \gamma < 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \left| a_{n+1} \right| \leq \gamma \left| a_n \right| \end{align*}$ für fast alle $\begin{align*} n \end{align*}$ .
Dann kannst du dich mit dieser Ungleichung Glied für Glied zurückarbeiten.

01.11.2016, 19:19

Mathe<3

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Danke erstmal für die schnelle Antwort. Freude

Freude

Ich habe aber ein Verständnisproblem, was heißt denn aufeinanderfolgende Folgeglieder in Beziehung setzten? Heißt das ich muss das quotientenkriterium anwenden?

Ich weiß wie du das berechnet hast und das Ergebnis wäre doch dann e*|b|, ich wäre aber nie alleine darauf gekommen, das ich nun das quotientenkriterium hier anwenden soll.

01.11.2016, 20:20

Leopold

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Zitat:

Original von Mathe<3
Ich habe aber ein Verständnisproblem, was heißt denn aufeinanderfolgende Folgeglieder in Beziehung setzten?

Sie zum Beispiel addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren - was weiß ich ... eben eine Beziehung herstellen. Ich habe mich für das Dividieren entschieden, da der Folgenterm Produkte und Potenzen enthält, so daß ich hoffte, es würde sich einiges wegkürzen. Und genau das tat es auch.

Zitat:

Original von Mathe<3
Heißt das ich muss das quotientenkriterium anwenden?

Du mußt gar nichts. Von mir aus kannst du auch das Quotientenkriterium anwenden, wenn es dir nützt. (Ich allerdings würde es lieber lassen, da ja gar keine Reihe vorliegt, also auch kein Quotientenkriterium angewendet werden kann.)

Deine Art zu fragen deutet auf ein mechanisches Mathematikverständnis. Wenn ich es einmal etwas böse sagen will: "Bekomme ich alle Punkte, wenn ich brav tue, was man von mir verlangt? Was muß ich jetzt tun?" Sieh lieber die Mathematik als großes Abenteuer an. Man muß sich etwas trauen. Und wenn man scheitert, versucht man es eben anderswie.

Zitat:

Original von Mathe<3
und das Ergebnis wäre doch dann e*|b|, ich wäre aber nie alleine darauf gekommen, das ich nun das quotientenkriterium hier anwenden soll.

Nichts mit $\begin{align*} \operatorname{e} \end{align*}$ . Der Nenner in der Klammer und der Exponent sind nicht gekoppelt. Der Grenzwert des Ausdrucks ist daher $\begin{align*} 1 \cdot |b| = |b| \end{align*}$ . Zum Quotientenkriterium siehe oben.

Jetzt beachte, daß $\begin{align*} |b|<1 \end{align*}$ ist. Da dies der Grenzwert von $\begin{align*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{align*}$ ist, liegen diese Werte schließlich ganz nahe bei $\begin{align*} |b| \end{align*}$ , sind also, von ein paar möglichen Anfangsgliedern abgesehen, insbesondere kleiner als ein positives $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ , das selber wiederum kleiner als $\begin{align*} 1 \end{align*}$ ist.

02.11.2016, 08:45

Matt Eagle

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Zitat:

Original von Leopold
Du mußt gar nichts. Von mir aus kannst du auch das Quotientenkriterium anwenden, wenn es dir nützt. (Ich allerdings würde es lieber lassen, da ja gar keine Reihe vorliegt, also auch kein Quotientenkriterium angewendet werden kann.)

Das würde ich so nicht unterschreiben, denn wenn mit dem Quotientenkriterium gezeigt wird, dass die Reihe über die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann liefert das Trivialkriterium $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n=0. \end{eqnarray*}$

02.11.2016, 09:01

Leopold

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Ist zwar irgendwie um die Ecke gedacht, aber nicht von der Hand zu weisen.
Es stimmt, mein Beweisvorschlag läuft letztlich auf den Beweis des Quotientenkriteriums hinaus. Ich nehme daher meine apodiktische Äußerung zurück.

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02.11.2016, 10:30

Mathe<3

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Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{k} b^{n+1} }{n^{k}*b^{n} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{k} b^{n} *b }{n^{k}*b^{n} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{k} *b }{n^k} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{n})^{k} *b \end{eqnarray*}$

und der Grenzwert davon ist = |b|

ich bin soweit mitgekommen.

Wir haben also Gerade den Grenzwert des Quotienten ausgerechnet. Eine frage ist der Grenzwert einer Folge das gleiche wie der Grenzwert der Folge in Beziehung mit einem Folgenglied ?
weiter :

Ich soll ja jetzt ausnutzen das |b| <1 also kann |b| nicht negativ sein aber auch nicht größer sein als 1.
Also muss es ja in die Richtung von 0 gehen aber wie genau zeige ich das ?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

02.11.2016, 10:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Ist zwar irgendwie um die Ecke gedacht, aber nicht von der Hand zu weisen.

Mir selbst ist auch folgende Argumentation lieber: Eine Folge mit $\begin{align*} |a_{n+1}|\leq q\cdot |a_n| \end{align*}$ für ein $\begin{align*} |q|<1 \end{align*}$ kann durch eine geometrische Nullfolge majorisiert werden und ist deshalb selbst eine Nullfolge.

Ob das einen eigenen Kriteriumnamen hat, ist mir nicht bekannt - und vielen anderen wohl auch nicht, weshalb dieser "Hintenrum-Weg" über das Quotientenkriterium für eine an sich gar nicht benötigte Reihe gewählt wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2016, 10:34

Mathe<3

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woher weiß du das |an+1| <= |an| ist ? wo wurde das gezeigt

03.11.2016, 16:22

Mathe<3

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Ich brauche hilfe ist keiner da ?

ich habe mir jetzt überelgt:

Die Folge : $\begin{eqnarray*} b^{k} \end{eqnarray*}$ konveiert ja für |b| <1 gegen 0.

Also ist der Grenzwert von n^k*b^k immer 0 da b^k gegen 0 konvegiert und etwas * 0 ergibt immer 0.

versteht ihr was ich meine ?
würde dies nicht gehen diese Behauptung ?

03.11.2016, 16:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathe<3
Also ist der Grenzwert von n^k*b^k immer 0 da b^k gegen 0 konvegiert und etwas * 0 ergibt immer 0.

Mit derselben Begründung ist $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} n^2\cdot \frac{1}{n} \stackrel{???}{=} 0 \end{align*}$ , es gilt ja schließlich $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \end{align*}$ und "irgendwas mal 0 = 0". smile

smile

Merkst du was?

03.11.2016, 17:01

Mathe<3

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Natürlich stimmt das nicht das könnte man nur anwenden bei 2 konvergenten Folgen.
Ich brauche eine Hilfe wie soll ich weiter arbeiten bzw. wie soll ich voran gehen ?

03.11.2016, 21:45

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Der Nenner in der Klammer und der Exponent sind nicht gekoppelt. Der Grenzwert des Ausdrucks ist daher $\begin{align*} 1 \cdot |b| = |b| \end{align*}$ ...

Jetzt beachte, daß $\begin{align*} |b|<1 \end{align*}$ ist. Da dies der Grenzwert von $\begin{align*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{align*}$ ist, liegen diese Werte schließlich ganz nahe bei $\begin{align*} |b| \end{align*}$ , sind also, von ein paar möglichen Anfangsgliedern abgesehen, insbesondere kleiner als ein positives $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ , das selber wiederum kleiner als $\begin{align*} 1 \end{align*}$ ist.

Man kann das auch so ausdrücken: Es gibt eine natürliche Zahl $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ und eine reelle Zahl $\begin{align*} \gamma \in (0,1) \end{align*}$ mit

$\begin{align*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq \gamma \ \ \mbox{für} \ \ n \geq n_0 \end{align*}$

Und das ist äquivalent zu

$\begin{align*} \left| a_{n+1} \right| \leq \gamma \left| a_n \right| \ \ \mbox{für} \ \ n \geq n_0 \end{align*}$

Jetzt startest du mit einem $\begin{align*} n > n_0 \end{align*}$ und wendest diese Ungleichung fortwährend an, bis du rechts bei $\begin{align*} a_{n_0} \end{align*}$ angelangt bist:

$\begin{align*} \left| a_n \right| \leq \gamma \cdot \left| a_{n-1} \right| \leq \gamma^2 \cdot \left| a_{n-2} \right| \leq \ldots \leq \text{???} \end{align*}$

Du kannst es dir natürlich auch einfacher machen und den von Matt Eagle vorgeschlagenen Weg gehen. Daß er mir und HAL 9000 nicht gefällt, heißt ja nicht, daß er falsch ist. Wenn du jedoch den von mir vorgeschlagenen Weg gehst, wiederholst du automatisch den Beweis der zentralen Teilaussage, wie sie beim Beweis des Quotientenkriteriums verwendet wird.

04.11.2016, 12:28

Mathe<3

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Hallo Liebe Mathefreunde.
Ich war eben in der Übung als ich diesen Ansatz der Tutorin zeigte sagte Sie das wäre völlig falsch. Sie meinte ich hätte die Aufgabenstellung nicht verstanden verwirrt

verwirrt

05.11.2016, 20:20

Mathe<3

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Ist jemand noch da ?

05.11.2016, 20:23

Leopold

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Was ist wo wann und warum falsch? Mit "das wäre völlig falsch" kann kein Mensch etwas anfangen.

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