Dualbasis durch Standardbasis ausdrücken

02.11.2016, 10:04	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualbasis durch Standardbasis ausdrücken Hallo, Wir betrachten $\begin{eqnarray} u_1 = (1,1,0), u_2=(0,-1,1), u_3=(1,0,-1) \end{eqnarray}$ als Basis von $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ 1. Bestimme die Dualbasis $\begin{eqnarray} (u_1^, u_2^, u_3^) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ Frage 1: Müsste es nicht heissen, die Dualbasis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ? Sie ist doch nur Dual relativ zu V. Im $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ ist es einfach eine Basis. Nicht? 2. Drücke die Dualbasis $\begin{eqnarray} (e_1^, e_2^, e_3^) \end{eqnarray}$ der Standardbasis $\begin{eqnarray} (e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} (u_1^,u_2^,u_3^) \end{eqnarray}$ aus. Lösung: 1. Wir schreiben $\begin{eqnarray} A=(u_1\|u_2\|u_3) \end{eqnarray}$ und invertieren. $\begin{eqnarray} A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&-1&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} u_1^* = (1,1,1), u_2^=(1,-1,-1), u_3^=(1,1,-1) \end{eqnarray}$ unsere Dualbasis. 2. Hier dachte ich mir folgendes: Sei $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ unser Vektorraum mit der Standardbasis. Dann gilt: $\begin{eqnarray} U=U^* \end{eqnarray}$ oder? Somit muss also $\begin{eqnarray} e_i^=e_i \end{eqnarray}$ sein. Nun gilt es laut der Aufgabe 3 Linearkombinationen zu finden, so dass: $\begin{eqnarray} e_i^ = \sum_i a_i u_i^* \end{eqnarray}$ Wir kriegen also drei Vektoren im stil von $\begin{eqnarray} k=(a_1,a_2,a_3) \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} e_1^* = 2(u^_1 + u^_2)=(1,0,0) \ \Rightarrow \ k_1=(2,2,0) \end{eqnarray}$ Die Lösung sagt aber: Die Koordinaten der $\begin{eqnarray} e_i^* \end{eqnarray}$ sind die Zeilen von A. Nun, ich glaube ich habe nicht verstanden was sie genau von mir wollen. Bloss sehe ich nicht wirklich was sie den wollen bzw. wo mein Fehler ist. Kurzum: Ich steh aufm Schlauch. [Mir ist klar, dass wenn man die $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ mittels A abbildet, die Zeilen von A rauskommen. [Dass wiederum wird dann wohl die Dualbasis sein, da wie oben geschrieben die Dualbasis der Standardbasis sie selbst ist. Ich seh aber nicht, wo hier die $\begin{eqnarray} u_i^* \end{eqnarray}$ eine Rollen spielen... ] Edit:* Angeblich sind die Dualbasisvektoren die Zeilen und nicht die Spalten... Hatte ich falsch im Kopf. Ich schau das nochmal an.
02.11.2016, 11:55	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkläre dir mal den Sinn die dualen Basis. Danach ist die Rechnung ziemlich einfach: --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\begin{eqnarray} \vec X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec Y \end{eqnarray}$ bezüglich der Standardbasis lautet einfach $\begin{eqnarray} \vec X\cdot \vec Y \end{eqnarray}$ . Stellt man beide Vektoren bezüglich verschiedener Basen $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} B^ \end{eqnarray}$ dar, also $\begin{eqnarray} \vec X=B\vec x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec Y=B^\vec y \end{eqnarray}$ , so wird das Skalarprodukt komplizierter $\begin{eqnarray} \vec X\cdot \vec Y=B\vec x\cdot B^\vec y^=\vec x\cdot B^TB^\vec y^* \end{eqnarray}$ Dabei sind die Spalten der Matrizen $\begin{eqnarray} B, B^* \end{eqnarray}$ die Basisvektoren, und $\begin{eqnarray} \vec x, \vec y^* \end{eqnarray}$ sind die Koordinatenvektoren bezüglich dieser Basen. Offenbar vereinfacht sich das Skalarprodukt, wenn gilt $\begin{eqnarray} B^TB^=E=\text{Einheitsmatrix} \end{eqnarray}$ Dann bekommt das Skalarprodukt nämlich wieder dieselbe einfache Form wie bezüglich der Standardbasis, also $\begin{eqnarray} \vec X\cdot \vec Y=\vec x\cdot \vec y^ \end{eqnarray}$ Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn für die zweite Basis $\begin{eqnarray} B^* \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} B^=(B^{-1})^T \end{eqnarray}$ . Diese Basis $\begin{eqnarray} B^ \end{eqnarray}$ bezeichnet man als die duale Basis zu $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray*}$ . Das ist der Witz der Sache.
02.11.2016, 13:20	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke aber ich seh nicht wirklich ein was mir die Antwort helfen soll. Mir ist klar wie ich die Dualbasis berechne: $\begin{eqnarray} b_i(b_j^)=\delta_{i,j} \end{eqnarray}$ Mir ist klar, dass ein Basisvektor eine lineare Abbildung ist. Was ich nicht verstehe ist was sie in Aufgabe 2 von mir wollen. Ich sehe durchaus, dass die $\begin{eqnarray} e^_i \end{eqnarray}$ die Zeilen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sind - sehe aber absolut nicht was das bitte mit den vorhin gefundenen Dualbasisvektoren zu tun hat. Wo ist da der zusammenhang? Was interessiert es die $\begin{eqnarray} e^_i \end{eqnarray*}$ was für Dualbasisvektoren ich habe?
02.11.2016, 14:06	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In Aufgabe 2 sollst du jeden Vektor $\begin{eqnarray} e_i^ \end{eqnarray}$ als Linearkombination der Basisvektoren $\begin{eqnarray} \vec u_k^* \end{eqnarray}$ darstellen, also $\begin{eqnarray} \vec e_1=\vec e_1^=A_{11}\vec u_1^+a_{12}\vec u_2^+a_{13}\vec u_3^ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec e_2=\vec e_2^=a_{21}\vec u_1^+a_{22}\vec u_2^+a_{23}\vec u_3^ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec e_3=\vec e_3^=a_{31}\vec u_1^+a_{32}\vec u_2^+a_{33}\vec u_3^ \end{eqnarray}$ In Matrixform kann man dies schreiben als $\begin{eqnarray} E=U^{}A^T \end{eqnarray}$ Dabei sind die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec u_1^, \vec u_2^,\vec u_3^ \end{eqnarray}$ die Spalten der Matrix $\begin{eqnarray} U^* \end{eqnarray}$ und die Koeffizienten $\begin{eqnarray} A_{ik} \end{eqnarray}$ sind die Matrixelemente der Matrix A. Die linke Seite ist die Einheitsmatrix. Umstellen der Matrixgleichung ergibt $\begin{eqnarray} A^{T-1}=U^{} \end{eqnarray}$ Mit anderen Worten: Die Koeffizientenmatrix A kann man als duale Basis auffassen.
02.11.2016, 15:50	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann hat mich die Formulierung einfach sehr verwirrt. Aufjedenfall sollte das alles jetzt klar sein - merci.

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