Stetiges Bild einer total beschränkten Teilmenge ist ebenfalls total beschränkt

02.11.2016, 19:43	shmlshml	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetiges Bild einer total beschränkten Teilmenge ist ebenfalls total beschränkt Meine Frage: Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgendem Beweis: Gegeben seien 2 metrische Räume (X,d) und (Y,d'). f:X->Y sei eine gleichmäßig stetige Abbildung. Beweise, dass für jede total beschränkte Teilmenge A von X auch f(A) total beschränkt ist. Wie/Wo fange ich da am Besten an? Danke! Meine Ideen: Ich kenne aus der Vorlesung die Definition der totalen Beschränktheit: Sei (X,d) metr. Raum, dann heißt $\begin{eqnarray} Y \subseteq X \end{eqnarray}$ total beschränkt, wenn es für alle e>0 endlich viele x_1,...;x_n aus X gibt,sodass $\begin{eqnarray} Y \subseteq \bigcup \end{eqnarray}$ {y aus X: d(y,x)<e} Ich weiß leider nicht wie ich die Definition hier einsetzen kann, bzw. wie ich die Definition auf f(A) anwenden kann.
02.11.2016, 21:12	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
im Matheboard! Man sieht das sehr schön, wenn man sich die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit in dieser Form aufschreibt: $\begin{eqnarray} f: X\to Y \end{eqnarray}$ heißt gleichmäßig stetig, wenn für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ existiert, sodass für alle $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(B_{\delta}(x))\subseteq B'_{\varepsilon}(f(x)) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} B_{\delta}(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B'_{\varepsilon}(f(x)) \end{eqnarray}$ sind die offenen Kugeln (in der Metrik $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} d' \end{eqnarray}$ ), mit denen du deine Menge überdecken willst. Kannst du damit was anfangen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »