Beweis Mengenlehre (Teilmenge und Gleichheit)

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Logi_Bogi Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Mengenlehre (Teilmenge und Gleichheit)
Meine Frage:
Hallo.
Ich habe zwei Aufgaben zu beweisen, bei denen ich mir nicht ganz sicher bin, ob ich es so richtig gemacht habe. Wäre nett von euch, wenn ihr mal drüber schaun könntet smile

1.Aufgabe:
Zeigen sie: Für alle Mengen und gilt:


2. Aufgabe:
Wir definieren für alle die Menge
. Gegeben sei außerdem die Menge . Zu zeigen ist: .

Meine Ideen:
Mein Ansatz sieht wie folgt aus:

Aufgabe 1

Seien und Mengen und es gelte . Nach der Definition der Potenzmenge gibt es eine Menge für die gilt: oder , also auch oder .
Sei ein belibieges Objekt und . Dann gilt auch oder .

Ab hier bin ich mir nicht mehr sicher, wie ich weitervorangehen soll. Zuerst dachte ich an eine Fallunterscheiden, weil wir ja ein "oder" haben. Oder kann man hier darauf verzichten und sagen, dass man die Definition der Vereinigung anwendet, sodass aus oder ---> folgt, ohne eine Fallunterscheidung zu machen?
Falls ich doch eine Fallunterscheidung machen muss, wie würde sie aussehen? Ich weiß zwar, dass im ersten Fall gezeigt werden muss, dass x Element A ist und im zweiten Fall x Elment B. Aber das bringt mich irgentwie nicht weiter.


Aufgabe 2



Sei beliebiges Objekt und es gelte . Nach Def. von gibt es eine Menge B für die gilt: mit . Somit ist , denn aus der Foraussetzung geht hervor, dass es in ein mit gibt. (hier habe ich Zermelo Mengenkrompehension benutzt, damit ich was mit der Menge anfangen kann) Durch die Definiton der Menge ergibt sich, dass , da es in der Definiton ein für das gilt und .




Sei x ein belibiges Objekt und es gelte . Laut Voraussetzung gilt für die Menge , dass es ein für das gilt . Also ist auch .Ebenfalls wissen wir laut der Vorrausetzung, dass sich eine Menge in befindet, für die gilt: es gibt ein mit . Also gibt es ein mit . Nach Def. gilt dann . Somit stimmt die Behauptung.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1) ist einfacher man muss nicht auf die Elemente von heruntergehen, und Du bist fast schon am Ziel:


2) Darüber denke ich noch etwas lustlos nach, wer schneller denken kann als ich, darf gerne helfen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Logi_Bogi
Laut Voraussetzung gilt für die Menge , dass es ein für das gilt . Also ist auch .

Der Beweisteil ging los mit einem festen , und nun betrachtest du (irgendein?) und behauptest bzw. meinst schließen zu können, dass gilt ? Sieht mir nach Fehlschluss aus. unglücklich

Anders sieht es aus, wenn man ein konkretes solches benennen kann, z.B. .
Logi_Bogi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten smile

Also kann ich davon ausgehen, dass bei Aufgabe zwei der Beweis der Teilmenge richtgi ist?

Was den Beweis der Obermenge angeht:
Muss ich hier davon ausgehen dass das x in ein anderes x ist als in der Menge , wo dessen x ebenfalls ist, obwohl beide die selbe variable haben?

Wenn ich, wie du vorgeschlagen hast, dass x = 2x setzte, wäre der Rest des Beweises in Ordnung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In einer Definition wie hat Symbol nur "lokale" Bedeutung, macht also außerhalb keinen Sinn. D.h., die Definition kann inhaltsgleich genauso oder usw. lauten.

Wenn dein Beweis zu mit "Sei " startet, dann hat dieses primär nichts aber auch gar nichts mit dem in der -Definition zu tun. unglücklich

Die Frage, ob nun für dieses tatsächlich gilt, hängt entscheidend davon ab, wie groß ist (s.o.) !
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