Oberflächen-, Flussintegral

03.11.2016, 16:55

balance

Oberflächen-, Flussintegral

Ich habe mich in Physik gerade verwirrt. Es geht darum, dass ich das Oberflächenintegral im Gesetzt von Gauss konkret mal durchrechnen wollte.

Wir haben also das Vektorfeld (E-Feld) $\begin{eqnarray*} \vec{E}\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sowie ein Kugelvolumen mit Radius $\begin{eqnarray*} R\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt ja: $\begin{eqnarray*} \int_{\partial V} \vec{E}\cdot d\vec{a} =\frac{1}{\epsilon_0} \int_V \rho dV \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich den linken Teil berechnen, also: $\begin{eqnarray*} \int_{\partial V} \vec{E}\cdot d\vec{a} \end{eqnarray*}$

Eigentlich ist es ja ein Flussintegral. Ich löse Flussintegrale entweder mit dem Satz von Gauss oder aber mittels einer Parametrisierung. Wir machen zweiteres da ersteres hier nicht geht da wir nichts über unser Vektorfeld wissen und somit auch die divergenz nicht bestimmen können.

Als erstes muss ich die Oberfläche mal aufschreiben.

$\begin{eqnarray*} \partial V = \{\varphi \in [0,2\pi], \theta \in [0,\pi], r\in [0,R] | r(\sin\theta \cos\varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)\} \end{eqnarray*}$

nun müsste ich dafür eine Parametrisierung finden. Und irgendwie istgenau hier das Problem. Wäre es die Einheitskugle wäre die Parametrisierung ja im Prinzip schon obe hingeschrieben, aber so.

Evtl. ist gerade einfach die Luft raus oder ich hab echt kein Plan was ich gerade machen sollte.

04.11.2016, 09:31

Ehos

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Du willst das Oberflächenintegral auf der linken Seite folgender Gleichung berechnen (=Gaußscher Satz):

$\begin{eqnarray*} \oint \vec E\,d\vec A=\int \int \int \underbrace{div(\vec E)}_{=\rho/\epsilon_0} \,\,dV \end{eqnarray*}$

Du schreibst, dass du das elektrische Feld $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ nicht kennst. Du musst entweder das elektrische Feld $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ oder die Ladungsdichte $\begin{eqnarray*} \rho(\vec x) \end{eqnarray*}$ kennen. Anderenfalls kannst du beide Integrale nicht berechnen.

04.11.2016, 10:59

balance

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Zitat:

Original von Ehos
Du willst das Oberflächenintegral auf der linken Seite folgender Gleichung berechnen (=Gaußscher Satz):

$\begin{eqnarray*} \oint \vec E\,d\vec A=\int \int \int \underbrace{div(\vec E)}_{=\rho/\epsilon_0} \,\,dV \end{eqnarray*}$

Du schreibst, dass du das elektrische Feld $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ nicht kennst. Du musst entweder das elektrische Feld $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ oder die Ladungsdichte $\begin{eqnarray*} \rho(\vec x) \end{eqnarray*}$ kennen. Anderenfalls kannst du beide Integrale nicht berechnen.

Man berechnet doch genau damit das elektrische Feld. Man argumentiert beim linken Integral, dass $\begin{eqnarray*} E\partial V \end{eqnarray*}$ raus kommt da es senkrecht etc. ist. Das E-Feld wird ja durch die Ladung definiert, daher kenne ich es implizit aber halt nicht explizit.

Ich frage mich also, wie ich linkes Integral genau löse. In der Physik war das bis jetzt echt schwammig und wenn ich das Gesetzt nutze, dann "weis ich das einfach".

Mal angenommen wir haben eine Kugel mit Radius R und homogener Ladungsdichte roh. Kann mir jetzt mal jemand das Integral löse ohne physikalische argumentation, sondern rein mathematisch pedantisch? Irgendwie finde ich nirgends so ein beispiel, nur immer das integral und ein "daraus folgt" oder so ähnlich.

Edit: Also ich sehe glaube ich was du meinst. Sei $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ unsere Parametrisierung, dann gilt ja für ein Flussintegral: $\begin{eqnarray*} \oint_{\partial V} \vec{E} d\vec{a} =\pm\int_a^b\int_c^d \vec{E(\phi(u,v))}\cdot \Phi_u \times \Phi_v dudv \end{eqnarray*}$

Bei Unbekannten E-Feld können wir $\begin{eqnarray*} \vec{E(\phi(u,v))} \end{eqnarray*}$ nicht bestimmen. Jedoch können wir mit Gauss das Problem auf die Divergenz zurückführen und es somit lösen.

Trotzdem bin ich verwirrt. Dazu ein Beispiel:

Sei V das volmen einer vollkugel mit homogener Ladungsdichte $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ und Radius R. Wir benutzen das Gesetzt von Gauss um das Feld innen zu berechnen:

1) $\begin{eqnarray*} \int_{\partial V} \vec{E} \cdot d\vec{a} = \int_V div(\vec{E}) dV = \frac{Q_{gesamt}}{\epsilon_0}=\frac{\rho V}{\epsilon_0}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{4}{3}\pi R^3 \end{eqnarray*}$

2) Wir bekommen also: $\begin{eqnarray*} E 4\pi R^2 = \frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{4}{3}\pi R^3 \end{eqnarray*}$

3) Somit ist das E-Feld innen: $\begin{eqnarray*} \vec{E} = \frac{\rho}{3\epsilon_0} R \hat{r}, \quad \text{für}\ r \leq R \end{eqnarray*}$

So sehe ich das halt immer. Aber von 1) nach 2) hätte ich gerne mal eine anständige Rechnung. [Man arguemntiert ja das alle nicht orthogonalen beträge wegfallen, so dass aus $\begin{eqnarray*} \vec{E}\cdot d\vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Eda \end{eqnarray*}$ wird. Somit ein konstanter Term. Somit kriegt man ja $\begin{eqnarray*} E\oint_{\partial V}da \end{eqnarray*}$ was dem oben entspricht. Aber naja... dieses "wegfallen der Term" muss man doch in irgendeienr Rechnung sehen.]

04.11.2016, 12:57

Ehos

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Zu berechnen ist das Oberflächenintergal

$\begin{eqnarray*} \oint \vec E\,\,d\vec A=\oint \vec E\cdot \underbrace{\vec n\,\,dA}_{d\vec A} \end{eqnarray*}$

Darin bezeichnet $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ den Normaleneinheitsvektor auf der Fläche. Speziell bei einer Kugel mit homogener Ladungsverteilung zeigen das elektrische Feld $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ und der Normaleneinheitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ aus Symmetriegründen in dieselbe Richtung (nämlich in Richtung des Radiusvektors). Bei einer Kugel ergibt sich also

$\begin{eqnarray*} \vec E\cdot \vec n=|\vec E| \end{eqnarray*}$

Setzt man dies in das Integral ein (oben rechts), ergibt sich

$\begin{eqnarray*} |\vec E|\cdot \underbrace{\oint dA}_{4\pi r^2} \end{eqnarray*}$

-----------------------------------
Hat man keine Kugel, sondern einen unregelmäßig geformten Körper, der mit einer inhomogenen ladungsdichte gefüllt ist, so ist das nicht so einfach, weil $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ dann nicht senkrecht stehen!!!

07.11.2016, 13:14

balance

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Ja, danke. Das habe ich impizit immer angewendet. Es war eine kleine Verwirrung die mich zur Frage bewegt hat.

Alles wieder gut jetzt smile

Merci

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